第三章信息编码与数据表示

一.进位计数值

基本概念

基数R
指在这种进位制中允许使用的基本数码个数。基数为R的数制称为R进制数。 R进制数的主要特点就是逢R进1

权Wi
权也称位权，指某一位i上的数码的权重值，即权与数码所处的位置i有关。 Wi ＝Ri。

假设任意数值N用R进制数来表示，形式为：
N=（Dm－1Dm-2…D0 ．D-1D-2 …D-k ）R
其中，Di为该进制的基本符号，Di∈[0，R-1]，i = -k， -k+1， ……，m-1；小数点在D0和D-1之间。

（11011.011）2＝1×24＋ 1×23＋ 0×22＋1×21＋ 1×2-0＋ 0×2-1 ＋ 1×2-2 ＋ 1×2-3=（27.375）10

（2345.459）10＝2×103＋ 3×102＋ 4×101＋5×100＋ 4×10-1＋ 5×10-2＋ 9×10-3

二.不同进制转换

常见的进制###：

十进制（Decimal）、二进制（Binary）、八进制（Octal）、十六进制（Hexdecimal）数分别用D、B、Q、H来标志。
* 实例*
（2B.D）16=（2B.D）H=（43.8125）10=(53.64)Q

其他进制转化为十进制：

按权展开，加权求和

实例
（5AC.E6）16= 5×162＋ 10×161 ＋12×160 ＋14×16－1＋ 6×16－2 ＝（1452.8984375）10

十进制变二进制，八进制，十六进制：

转换方法：可以分为以下两种方法
直接转换：十进制→二、八、十六进制
间接转换：十进制→二进制→ 八、十六进制

• 十进制→R进制

转换方法
整数部分：除以R取余，先得低位，直到商为0。
小数部分：乘R取整，先得高位，直到积为0或者达到精度要求为止。
实例：

（123.75）10=（ 173.6 ）8

当小数部分不能整除为二进制时，则乘以2取整的过程中，积不会为0；或者当小数部分转化为二进制位数很长，这时由精度来决定二进制位数。

若要求精度大于10％，则表示“＝”左右两边的十进制值的差的绝对值<10％。
即，10％>2－n
所以 n=4

1. 二进制→八，十六进制
   二进制→八进制
   以小数点为中心分别向两边分组，每三位一组，写出对应的八进制数字。（不够位数则在两边加0补足3位 ）
   二进制→十六进制
   以小数点为中心分别向两边分组，每四位一组，写出对应的十六进制符号。（不够位数则在两边加0补足4位 ）
   实例
   （1011111.11）2=( 137.6 )8=( 5F.C )16
2. 八进制→二进制
   将每位八进制数展开为3位二进制数，最高位和最低位的0可以略去。
3. 十六进制→二进制：
   将每位十六进制数展开为4位二进制数，最高位和最低位的0可以略去。
   实例
   （765.23）8=（ 111 110 101.010 011 ）2
   （765.23）16=（ 111 0110 0101.0010 0011 ）2
   

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计算机中为什么采用二进制表示数据？
1. 具有二值状态的物理器件容易实现。
2. 二进制的运算规则简单，硬件实现容易。
3. 具有逻辑特性，可代表“真假”、“是非”。
4. 抗干扰能力强、可靠性高

三.十进制数的编码

如何在计算机内使用二进制来表示十进制数据？
（1）二－十进制码（BCD码）
（2）十进制数串的表示方法

BCD（Binary Coded Decimal）码：

使用二进制来编码十进制数字0～9。
编码方法：
一般使用4位二进制编码来表示1位十进制数字，在16个编码中选用10个来表示数字0～9。不同的选择构成不同的BCD码 。
分类：

• 有权码：

编码的每一位都有固定的权值，加权求和的值即是表示的十进制数字。如8421码、2421码、5211码、4311码、84 -2-1码等。

• 无权码：

编码的每一位并没有固定的权，主要包括格雷码、余3码等。

十进制数串的表示方法

字符串形式：
用ASCII码来表示十进制数字或符号位，即1个字节存放1位十进制数字或符号位。
压缩的十进制数串形式：
用BCD码来表示十进制数字，即1个字节存放2个十进制的数字；符号位放在最低位数字位之后，一般用C（12）表示正号，用D（13）表示负号。
例如 ＋258被表示成258CH，占用两个字节，-34被表示为034DH，也占用两个字节。
共同点：
必须给出它在主存中的首地址和位长

采用十进制表示数据的优点是：

对于需要大量地进行输入输出数据而运算简单的场合，大大减少了十→二和二→十转换，提高了机器的运行效率；
十进制数串的位长可变，许多机器中规定该长度从0到31，有的甚至更长。不受定点数和浮点数统一格式的约束，从而提高了数据的表示范围和运算精度。

数据格式

计算机中参与运算的数据有两种：

1. 无符号数据（ Unsigned ）
   所有的二进制数据位数均用来表示数值本身，没有正负之分。

2. 带符号数据（ Signed）
   二进制数据位，包括符号位和数值位。计算机中的带符号数据又称为机器数。

机器数

把“+”、“-”符号代码化，并保存在计算机中的数据。
机器数的特点：

1. 机器数的表示范围受计算机机器字长的限制。
2. 符号必须数值化。
3. 机器数的小数点是用规定的隐含方式表达的。

真值：

是指机器数所真正表示的数值，用数值并冠以“+”、“-”符号的方法来表示。

机器数的编码方法

：原码、反码、补码、移码。

计算机硬件如何区分它们是无符号数据还是带符号数据的呢？
根据执行不同的指令

小数点的表示方法
在机器数中，小数点及其位置是隐含规定的；有两种隐含方式：
定点数：小数点的位置是固定不变的
浮点数：小数点的位置是浮动的
定点机器数分为定点小数、定点整数两种。
浮点机器数中小数点的位置由阶码规定，因此是浮动的。

定点机器数的小数点的位置是固定不变的，可以分为两种：
定点小数：用于表示纯小数，小数点隐含固定在最高数据位的左边，整数位则用于表示符号位。
定点整数：用于表示纯整数，小数点位置隐含固定在最低位之后，最高位为符号位。

原码表示法

表示方法：
最高位表示数的符号，其他位表示数值位。
符号位：
0——正数，1——负数。
数值位：
与绝对值相同。
实例
例1：X=1011，Y＝－1011，则：
[X]原＝0,1011 ； [Y]原＝ 1,1011 ；
例2：X=0.1101，Y＝- 0.1101，则：
[X]原＝0.1101 ；[Y]原＝ 1.1101 ；
例3： X=1011， Y＝- 0.1101，求X和Y的8位原码机器数。
[X]原＝0，0001011 ；[Y]原＝ 1.1101000 ；
0 的表示：
0 的原码表示有两种形式，即分别按照正数和负数表示。
[+0]原＝ 00…0 [-0]原＝ 10…0
表示范围：对于n＋1位原码机器数X，它所能表示的数据范围为：
定点整数：－（2^n－1）≤X ≤ 2^n－1
定点小数：－（1－2^－n）≤X ≤ 1－2^－n
溢出：当机器遇到一个超出它的机器数表示范围的数据

反码表示

表示方法：
最高位表示数的符号，其他位表示数值位。
符号位：
0－正数，1－负数。
数值位：
正数时，与绝对值相同；负数时，为绝对值取反。
X=1011，Y＝－1011，则：
[X]反＝ 0,1011 ；[Y]反＝1,0100 ；
例2：X=0.1101，Y＝- 0.1101，则：
[X]反＝0.1101 ；[Y]反＝1.0010 ；
例3： X=1011， Y＝- 0.1101，求X和Y的8位反码机器数。
[X]反＝0,0001011 ；[Y]反＝1.0010111 ；
0 的表示：
0 的反码表示有两种形式，即分别按照正数和负数表示。
[+0]反＝ 00…0 [-0]反＝ 11…1
表示范围：
对于n＋1位反码机器数X，它所能表示的数据范围为：
定点整数：
－（2^n－1）≤X ≤ 2^n－1
定点小数：
－（1－2^－n）≤X ≤ 1－2^－n

补码表示

表示方法：
最高位为符号位，其他位为数值位。
符号位：
0－正数，1－负数。
数值位：
正数时，与绝对值相同；负数时，为绝对值取反后，末位加1。
简单算法：
负数时候，从后往前看，遇到第一个1，这个1以及以后的1后不变，前面求反。
实例
例1：X=1011，Y＝－1011，则：
[X]补＝ 0,1011；[Y]补＝1,0101；
例2：X=0.1101，Y＝- 0.1101，则：
[X]补＝ 0.1101；[Y]补＝1. 0011 ；
例3： X=1011， Y＝- 0.1101，求X和Y的8位补码机器数。
[X]补＝ 0,0001011；[Y]补＝1.0011000；
0 的表示：
0 的补码表示形式是唯一的，即分别按照正数和负数表示均一致，为全零。
[+0]补＝ 00…0 [-0]补＝ 00…0
表示范围：
对于n＋1位补码机器数X，它所能表示的数据范围为：
定点整数：
－2^n≤X ≤ 2^n－1
定点小数：－1≤X ≤ 1－2^－n
计算机中的整型数据（int）均用补码来表示。

移码表示

表示方法：
最高位为符号位，其他位为数值位。
符号位：
1－正数，0－负数。
数值位：
正数时，与绝对值相同；负数时，为绝对值取反后，末位加1。
即即负数时候，为补码的符号位取反
实例
例1：X=1011，Y＝－1011，则：
[X]移＝1,1011 ；[Y]移＝0,0101；
例2：X=0.1101，Y＝- 0.1101，则：
[X]移＝ 1.1101 ；[Y]移＝ 0.0011 ；
例3： X=1011， Y＝- 0.1101，求X和Y的8位移码机器数。
[X]移＝1,00001011；[Y]移＝ 0.00110000 ；
0 的表示：
0 的移码表示形式是唯一的，即分别按照正数和负数表示均一致。
[+0]移＝ 10…0 [-0]移＝ 10…0
表示范围：
对于n＋1位移码机器数X，它所能表示的数据范围为：
定点整数：
－2^n ≤X ≤ 2^n－1
定点小数：
－1≤X ≤ 1－2^－n
移码通常作为浮点数的阶码,一般只用来表示定点整数。

定点机器数转换

机器数转换为真值
四种定点机器数转换为真值的方法要点是：
首先根据机器数的符号位确定真值的正负，然后对照机器数的定义和表示，反方向求出真值的绝对值
机器数之间的相互转换
原码、补码、反码和移码之间的相互转换，最简单的方法是先求出它们的真值，然后再转换为另一种表示方法。

实例

最后

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