青蛙跳台你真的会码？

引言

青蛙跳台阶问题是动态规划里较简单的题型了，因为状态转移方程很好找到。

但上周末遇到一道青蛙跳台阶面试题，给我难住了。状态方程竟然一时半会想不到！虽然目前是推出状态转移方程了，但颇有感触，遂想就青蛙跳台阶这一类做个总结。

普通青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法？

分析

如上图，我们假设青蛙站在第i级台阶上

那么，在青蛙一次只能跳1级/2级台阶上，它肯定是从第i-1级上跳1级上来的，或者从第i-2级台阶上跳2级上来的，不存在其他可能。

很明显，跳上第i级的方案数量等于跳上第i-1级的跳法数量+跳上第i-2级的跳法数量。

接下来我们就能写出状态转移方程了：

f(i)=f(i-1)+f(i-2)

有了状态方程，接下来就要考虑边界条件了

台阶级数没有负数，在编写代码时，索引至少要从0开始。因此状态转移方程的i取值必须大于等于2。

但一般f(0)比较难以确定，因此我舍弃0索引，直接从1开始，那么状态方程中的i至少为3。

这样一来，f(1)与f(2)就是所谓的边界条件，需要我们自己去确定。

f(1)是青蛙跳1级台阶的跳法，只有1种跳法（1），因此f(1)=1;
f(2)是青蛙跳2级台阶的跳法，只有2种跳法（1;2），因此f(2)=2;

边界条件也确定了，那么动态规划的思路分析也结束了。

该问题的分析结果如下：

状态转移方程：f(i)=f(i-1)+f(i-2)  i>2
边界条件：f(1)=1,f(2)=2

code

int FrogJump1(int n){
	if(n<0)//输入非法
		return -1;
	vector<int> f(n+1,0);
	f[1] = 1,f[2] = 2;//边界条件
	for(int i = 3;i<n+1;++i)
		f[i] = f[i-1] + f[i-2];//状态转移方程
	return f[n];
}

这道题只需要前两个状态，因此代码可以进一步优化：

int FrogJump1(int n){
	if(n<0)//输入非法
		return -1;
	int f[]= {1,2,0};//边界条件
	for(int i = 3;i<n+1;++i){
		f[2] = f[1] + f[0];//状态转移方程
		f[0] = f[1];
		f[1] = f[2];
	}
	return n>2?f[2]:f[n];
}

进阶青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，还可以跳上3级台阶，求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法？

分析

其实这道题和上一道题几乎一样，继续利用上题的符号，不再多分析。

状态转移方程：f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)  i>3
边界条件：f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3

code

int FrogJump2(int n){
	if(n<0)//输入非法
		return -1;
	vector<int> f(n+1,0);
	f[1] = 1,f[2] = 2,f[3] = 3;//边界条件
	for(int i = 4;i<n+1;++i)
		f[i] = f[i-1] + f[i-2] + f[i-3];//状态转移方程
	return f[n];
}

这道题只需要前三个状态，因此代码可以进一步优化：

int FrogJump2(int n){
	if(n<0)//输入非法
		return -1;
	int f[]= {1,2,3,0};//边界条件
	for(int i = 4;i<n+1;++i{
		f[3] = f[2] + f[1] + f[0];//状态转移方程
		f[0] = f[1];
		f[1] = f[2];
		f[2] = f[3];
	}
	return n>3?f[3]:f[n];
}

变态青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，……，还可以跳上n级台阶，求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法？

分析

状态转移方程：f(i)=2*f(i-1)  i>1
边界条件：f(1)=1

code

int FrogJump3(int n){
	if(n<0)//输入非法
		return -1;
	vector<int> f(n+1,0);
	f[1] = 1;//边界条件
	for(int i = 2;i<n+1;++i)
		f[i] = 2*f[i-1];//状态转移方程
	return f[n];
}

这道题只需要前一个状态，因此代码可以进一步优化：

int FrogJump3(int n){
	if(n<0)//输入非法
		return -1;
	int f = 1;//边界条件
	for(int i = 2;i<n+1;++i)
		f<<=1;//状态转移方程
	return f;
}

可退青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，在青蛙跳往n级的过程中，青蛙有且仅有一次倒退1级的机会，求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法？

这道变体有两个思路做：

思路1(计算中间状态)：青蛙站在第i(i<=n)阶，计算来到第i阶的跳法就是考虑青蛙是怎么来到第i阶的（这种思路时间复杂度为O(N^2)）

思路2(不计算中间状态)：青蛙已经到达终点，假设它在第k阶（k<n）之前使用了后退机会，第k阶便成为了一个节点，第k阶之前与之后计算方法都是一样的(这种思路时间复杂度为O(N))

思路1分析

结合上图，青蛙站在第i阶（跳法F(i),普通青蛙跳台阶f(i)），有两个分支可以使青蛙站在第i阶：

1).未使用后退机会：也就是说，在到达第i阶之前并未使用后退机会，计算跳法的方法就和“普通青蛙跳台阶”一致,即F(i)=f(i-1)+f(i-2)

2).已经使用了后退机会：青蛙在第k阶使用了后退机会，那么来到第k阶的跳法必然等于f(k),。因为后退了一阶，青蛙站在了k-1阶，接下来要按照“普通青蛙跳台阶”的方法跳到第i阶，即青蛙还有f(i-k+1)种方法跳到第i阶，那么此时青蛙从第0阶跳到第i阶的跳法就是f(k)*f(i-k+1)。因为k<i，k取值从1到i-1(因为第i阶是目的地，上去了不考虑再后退，第0阶也不能后退)，即青蛙使用后退机会跳到第i阶的跳法为：

综合两种分支，青蛙来到第i阶的跳法共计：

上式就是这道题的“状态转移方程“（其实也不是，因为F之间似乎没有关系，何谈转移，若是不明白思路1，可直接跳思路2哦~）

边界条件：

f(1) = 1,f(2) = 2;
F(1) = 1,F(2) = 4;

code

int FrogJump4(int n) {
	if (n < 0)//输入非法
		return -1;
	if (n == 1)
		return 1;
	vector<int> f(n + 1, 0);//存储不倒退跳法
	vector<int> F(n + 1, 0);//存储总跳法
	f[1] = 1, f[2] = 2;//不倒退边界条件
	F[1] = 1, F[2] = 4;//总跳法边界条件
	for (int i = 3; i < n + 1; ++i) {
		f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];//不倒退状态转移方程
		F[i] = f[i];//不倒退跳法
		for (int j = 1; j < i; ++j)//倒退跳法
			F[i] += f[j] * f[i - j + 1];
	}
	return F[n];
}

这道题F需要f的所有状态，而与F的状态无关，因此代码可以进一步优化：

int FrogJump4(int n) {
	if (n < 0)//输入非法
		return -1;
	if (n == 1)
		return 1;
	vector<int> f(n + 1, 0);//存储不倒退跳法
	f[1] = 1, f[2] = 2;//不倒退边界条件
	int F[] = { 1,4,0 }; //总跳法边界条件
	for (int i = 3; i < n + 1; ++i) {
		f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];//不倒退状态转移方程
		F[2] = f[i];//不倒退跳法
		for (int j = 1; j < i; ++j)//倒退跳法
			F[2] += f[j] * f[i - j + 1];
	}
	return n>2?F[2]:F[1];
}

思路2分析

青蛙要跳到第n阶，在跳到第n阶之前，可以在第k(k<n)阶使用后退机会，第k阶之前青蛙跳法计算与普通青蛙跳台阶计算方法一致，使用了后退，站在第k-1阶，此时只能继续按照普通青蛙跳台阶的方式跳向第n阶。

1).跳到第k阶，跳法f(k)
2).从k-1到第n阶，跳法f(n-k+1)
因为k有多个取值，因为青蛙从0跳到第n阶的跳法为：

code

int FrogJump4(int n) {
	if (n < 0)//输入非法
		return -1;
	if (n == 1)
		return 1;
	vector<int> f(n + 1, 0);
	f[1] = 1, f[2] = 2;//边界条件
	for (int i = 3; i < n + 1; ++i)
		f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];//不倒退状态转移方程	
	int Fn = f[n];//不后退
	for (int i = 1; i < n; ++i)//后退跳法
		Fn += f[i] * f[n - i + 1];
	return Fn;
}

两个思路个人感觉思路二还是比较容易明白，并且复杂度低，因此应该是最优解法。但是思路一也是有其意义的，若题意让列出到达每一阶的跳法，思路1只需返回F即可，而思路2则需要重新思考其计算逻辑（还是要以复杂度为代价）。

结语

你以为你会了动态规划！！！
但动态规划告诉你：
我自己都不敢说我懂我自己

保持谦虚！积极前进！
一看就会，一写就废。

最后

以上就是粗心铅笔为你收集整理的青蛙跳台你真的会码？的全部内容，希望文章能够帮你解决青蛙跳台你真的会码？所遇到的程序开发问题。

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