《推荐系统笔记（七）》因子分解机（FM）和它的推广（FFM、DeepFM）

b### 前言
不同于线性模型只能从利用数据的一阶特征，FM可以通过特征组合，利用数据的二阶甚至更高阶的特征，从而更好的完成回归或者分类任务。

下面，我们将分别介绍因子分解机（FM）、FFM以及DeepFM的原理。在此之后，我们将利用deepctr第三方库，对movielens数据集进行预测。

因子分解机

给定数据集 T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) } T={(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)} T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xN​,yN​)}，其中，$x_i\in {\mathbb{R}}^n$，$y_i$为标签。通过线性模型预测，有
$$\hat{y}=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot x^{(i)}$$

但是这样是否就已经足够了呢？

举个例子，不同国家不同日期的用户购买决策

• 数据特征维度：用户ID，国家，日期，商品
• 数据1：0，中国，2016/02/05，灯笼
• 数据2：1，美国，2016/12/25，火鸡
• ……

上面的例子中，02/05是中国春节前夕，中国人更加倾向于购买年货；12/25是美国圣诞节前夕，美国人更加倾向于购买火鸡等过节物品。

这就说明v，当国家和日期这两个特征组合起来，构成的 国家+日期 这个新的特征，可能对用户购买商品的预测更有帮助。

这也是我们要用因子分解机的原因，因子分解机可以组合特征，利用一维特征和二维特征同时进行预测。

1. FM

我们在原有的线性模型上加入二阶特征，即FM，
$$\hat{y}=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot x^{(i)}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{w}_{i,j}\cdot x^{(i)}{x}^{(j)}$$

这里，$x^{(i)}{x}^{(j)}$为二阶特征组合，$w_{i,j}$为二阶特征系数。

这存在一个问题，即原本数据集$T$中，能提取到多少二阶特征组合？一般来说，是非常少的，这就意味着仅仅能估计少量的$w_{i,j}$，而更多的系数无法估计。

为了解决这个困难，我们模仿MF的方法，令
$$w_{i,j}=v_i^T{v}_j$$

其中，$v_i$为$k$维列向量。这样，原始FM模型可以改为

$$\hat{y}=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot x^{(i)}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{v}_i^T{v}_j\cdot x^{(i)}{x}^{(j)}$$

紧接着，这带来计算复杂度的问题，为了计算${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n{v}_i^T{v}_j\cdot x^{(i)}{x}^{(j)}$，计算的加法和乘法达到了$O(k{n}^2)$的复杂度。

为了简便计算，我们可以将原式化简，即
$$\begin{array}{lll}& & {\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^n{v}_i^T{v}_j\cdot x^{(i)}{x}^{(j)}\\ & =& \frac{1}{2}({\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{v}_i^T{v}_j\cdot x^{(i)}{x}^{(j)}-{\sum }_{i=1}^n{v}_i^T{v}_i\cdot x^{(i)}{x}^{(i)})\\ & =& \frac{1}{2}\left(({\sum }_{i=1}^n{v}_i{x}^{(i)}{)}^2-{\sum }_{i=1}^n(v_i{x}^{(i)}{)}^2\right)\end{array}$$

通过上面的化简，我们可以把计算的复杂度降为$O(kn)$。

综上，我们可以把FM模型写为
$$\hat{y}=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot x^{(i)}+\frac{1}{2}\left((\sum _{i=1}^n{v}_i{x}^{(i)}{)}^2-\sum _{i=1}^n(v_i{x}^{(i)}{)}^2\right)$$

用于回归问题时，我们可以采用平方误差，即
$$Loss=\sum _{i=1}^N{\left(y_i-\hat{y}(x_i)\right)}^2$$

在二分类问题时，我们则可以采用logloss，即
$$Loss=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\left(y_i\cdot log(sigmoid(\hat{y}(x_i)))+(1-y_i)\cdot log(sigmoid(\hat{y}(x_i)))\right)$$

2. FFM

在FM模型中，我们用特征$i$的隐向量$v_i$来拟合二阶项系数$w_{i,j}$。实际上，我们的特征往往是通过one-hot编码得到。

举个例子

• 原始两个特征：国家 节日
• 数据1：中国 圣诞
• 数据2：中国 春节
• 数据3：美国 圣诞
• 数据4：美国 春节
• one-hot编码之后四个特征：国家_中国 国家_美国 节日_圣诞 节日_春节
• 数据1：1 0 1 0
• 数据2：1 0 0 1
• 数据3：0 1 1 0
• 数据4：0 1 0 1

编码之后有四个特征，它们两两组合，形成二阶特征。每个特征$x^{(i)}$都对应着一个隐向量$v_i$，二阶特征的系数$w_{i,j}$即为对应两个特征隐向量的乘积$v_i^T{v}_j$。

但是，对于特征组合

• 国家_中国 * 国家_美国
• 国家_中国 * 节日_春节

而言，国家_中国 对应的都是同一个隐向量，我们说这可能并不合理。为了解决这个可能的问题，我们说，对于不同filed的特征，在特征组合时某个特征$x^{(i)}$对应的隐向量也应该不同。这里的field={国家，节日}。

具体来说，二阶特征的系数$w_{i,j}$即为对应两个特征隐向量的乘积$v_{i,f(j)}^T{v}_{j,f(i)}$，即
$$w_{i,j}=v_{i,f(j)}^T{v}_{j,f(i)}$$

其中，$f(i)$是特征$x^{(i)}$所处的field。

这样，FFM模型可以写为
$$\hat{y}=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot x^{(i)}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{v}_{i,f(j)}^T{v}_{j,f(i)}\cdot x^{(i)}{x}^{(j)}$$

这个时候是没办法化简的。

3. DeepFM

上面的内容我们仅仅考虑了二阶特征组合，为了考虑更高阶特征组合的问题，我们引入深度神经网络（DNN）。

我们可以将DeepFM分成两个部分：

• FM部分，提取一阶特征和二阶特征组合
• DNN部分，提取更高阶的特征组合
• 最后将两部分得到的结果结合起来，生成最终结果

由于我们的输入经过one-hot编码之后，变成一个非常庞大的稀疏矩阵，要想有效通过DNN得到结果，必须将其降维，一个通用的做法是通过dense embedding将输入转化为稠密的较小规模输入。

接下来，我们将分别说明，DeepFM如何获取一阶特征、二阶特征以及更高阶特征。

• 在原有特征的基础上进行one-hot编码，得到的特征向量维度很大，却也稀疏
• 一阶特征：FM部分，直接用one-hot编码之后获得的特征向量，进行线性相加
• 二阶特征：FM部分，对one-hot编码之后获得的特征向量进行dense embedding，其实就是获得各个特征对应的隐向量的过程，对隐向量做乘法
• 高阶特征：DNN部分，通过上面的步骤，获得每个特征的隐向量，对于一个输入，每个field内必然只有一个k维隐向量，将这些隐向量拼接起来，作为DNN的输入
• 对于FM和DNN获得的结果，我们通过下式加以综合，作为最终结果 $$\hat{y}=sigmoid(y_{FM}+y_{DNN})$$

最后

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