softmax与cross-entropy loss

1. softmax用于计算概率分布

    例如，记输入样例属于各个类别的证据为：

采用softmax函数可以将证据转化为概率：

2. cross-entropy loss用于度量两个概率分布之间的相似性

参考：知乎讲解

    熵的本质是香农信息量(log(1/p))的期望。

    现有关于样本集的2个概率分布p和q，其中p为真实分布，q非真实分布。按照真实分布p来衡量识别一个样本的所需要的编码长度的期望(即平均编码长度)为：

如果使用错误分布q来表示来自真实分布p的平均编码长度，则应该是：

因为用q来编码的样本来自分布p，所以期望H(p,q)中概率是p(i)。H(p,q)我们称之“交叉熵”。

注意：i的值为分布可能取值的数目，如在手写字体识别中，i=1:10;

    特别的，对于二分类问题，，交叉熵损失函数形式为：。

3. softmax与cross-entropy loss的关系

    softmax计算概率分布a，且0 <= a<= 1。cross-entropy loss用于度量两个概率分布之间的相似性。求概率分布的方式与损失函数之间可以自由搭配，没有必然联系。

    但应当注意，在人工神经网络中，当选取神经元的激活函数为sigmoid函数时，函数形式为：

对应的函数图像为：

sigmoid函数的导数满足：y’=y(1-y)

参考wphh的博客

    由于神经元的激活函数选择为sigmoid函数，sigmoid函数的导数y’在两端值很小，导致参数更新会非常缓慢。如果选择普通的均方误差损失函数，会遇到上述问题。但交叉熵损失函数则可以克服这种问题。因为交叉熵损失函数的导数具有如下形式：

    没有y’这一项，权值更新直接受σ(z)−y控制，所以收敛结果更好。

关于cross-entropy loss求导过程可参考分类问题中的交叉熵损失和均方损失