神经网络之损失函数

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我是靠谱客的博主甜美黄蜂，最近开发中收集的这篇文章主要介绍神经网络之损失函数，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

对于损失函数一直处于混乱理解的状态，L2=1/2 ||a-y||^2 ,对于其他的类似于交叉信息熵感觉很高大上的样子，但是到底是怎么回事呢？今天我就一探究竟！

我们都知道，神经网络模型训练得以实现是经过前向传播计算LOSS，根据LOSS的值进行反向推到，进行相关参数的调整。可见，LOSS是指导参数进行调整的方向性的指导，很关键，正如在梯度下降中看到的图一样，如果LOSS随意指示下降的方向，那么可能无论经过多少次迭代，都是没有目标的随意游走，又怎么可能到达LOSS最低点呢？

所以，在神经网络的训练中对于损失函数的选取、以及梯度下降的各个参数的调整尤为重要！

损失函数通常可以表示成损失项和正则项的和 J(w)=∑iL(mi(w))+λR(w) ,今天我们只对于前一部分进行理解和记录。对于损失函数的收敛特性，我们期望是当误差越大的时候，收敛（学习）速度应该越快。

具体分为以下三类：
1. quadratic+sigmoid （平方损失函数）
2. cross entropy + sigmoid (交叉熵损失函数)
3. softmax + log-likelihood

一、quadratic+sigmoid （平方损失函数）

（1）定义
平方和损失函数定义 C=0.5*(y−a)^2，其中y是期望输出，a是实际输出。
（2）收敛特性
不幸的是，使用平方和作为损失函数的神经单元不具备这种性质，即当误差越大的时候，收敛（学习）速度应该越快。你可以按照下面的列子验证一下。

z=wx+b
a=δ(z)

根据链式法则，求C对于w的偏导数

∂C/∂w=(δ(z)−y)δ′(z)x
∂C/∂b=(δ(z)−y)δ′(z)

如果激活函数使用的是sigmoid函数的话，根据激活函数的形状和特性可知，当δ(z)趋近于0或者趋近于1的时候，δ′(z)会趋近于0，当δ(z)趋近于0.5的时候，δ′(z)会最大。
比如说，取y=0，当δ(z)=1的时候，期望值和实际值的误差δ(z)−y达到最大，此时，δ′(z)会趋近于0，所以就会发生收敛速度慢的问题。

二、cross entropy + sigmoid (交叉熵损失函数)

（1）定义
为了解决当误差大时，收敛速度大的问题，引入交叉熵损失函数。

C=−(ylna+(1−y)ln(1−a))

（2）特点
要想成为loss function，需要满足两点要求：
1. 非负性
2. 预测值和期望值接近时，函数值趋于0
显然，quadratic cost function满足以上两点。cross entropy同样也满足以上两点，所以其可以成为一个合格的cost function。

（3）收敛特性

z=wx+b
a=δ(z)

依旧根据链式法则，可以求得对应的偏导数

∂C/∂w={（δ(z)−y）/δ(z)（(1−δ(z))}δ′(z)x

对于sigmoid函数，有δ′(z)=δ(z)(1−δ(z))对上式子进行替换和约分有∂C/∂w=(δ(z)−y)x
∂C/∂b同理，∂C/∂b=(δ(z)−y)x。
可以看到梯度（∂C/∂w）正比与误差（δ(z)−y)，满足我们最初的目标！
（4）含义
交叉熵是用来衡量两个概率分布之间的差异。交叉熵越大即信息量越大，两个分布之间的差异越大，越对实验结果感到意外，反之，交叉熵越小，两个分布越相似，越符合预期。如抛掷两枚硬币，如果确定出现某一面其信息量不大，而正反面都是以1/2的概率出现，这个时候信息熵最大。下面以离散分布为例讨论。
q(x)表示估计x的概率分布，p(x)表示真实x的概率分布，交叉熵定义如下：

H(p(x),q(x))=H(p(x))+D(p(x)||q(x))

其中，H(p(x))表示p(x)的熵，定义如下：

H(p(x))=−∑p(x)logp(x)

D(p(x)||q(x))表示p(x)和q(x)的KL距离（Kullback-Leibler divergence），也叫作相对熵，定义如下：

D(p(x)||q(x))=∑p(x)log（p(x)/q(x)）

由H（p(x)）和D(p(x)||q(x))可得H(p,q)=−∑p(x)logq(x)

对于神经网络的二值输出（0或者1），假设神经网络输出a表示是输出1的概率（此时对应的y=1），那么1−a表示输出0的概率（此时对应的1−y=0），所以交叉熵可以定义成如下形式：
C=−(ylna+(1−y)ln(1−a))

三、softmax + log-likelihood

（1）softmax多分类器定义

zj=∑wx+b
aj=ej/∑ek （原来此处是sigmoid函数）

（2）loss的计算公式

C=−lnay

ay表示类别y对应的预测概率，如果预测好的话，ay会趋近于1，C会趋近于0，反之，ay趋近于0，C趋近于极大。
（3）梯度计算

∂C/∂w=(a−1)∗x
∂C/∂b=a−1

当aj预测不好时，误差会很大，收敛会变快。

四、结论

（一）、sigmoid

在激活函数使用sigmoid的前提之下，相比于quadratic cost function， cross entropy cost function具有收敛速度快和更容易获得全局最优（至于为什么更容易获得全局最优，个人感觉有点类似于动量的物理意义，增加收敛的步长，加快收敛的速度，更容易跳过局部最优）的特点。
因为我们一般使用随机值来初始化权重，这就可能导致一部分期望值和预测值相差甚远。所以选择sigmoid作为激活函数的时候，推荐使用cross entropy。如果激活函数不是sigmoid，quadratic cost function就不会存在收敛速度慢的问题。
（二）、softmax

对于分类问题，如果希望输出是类别的概率，那么激活函数选择使用softmax，同时使用log-likelihood作为损失函数。