【机器学习】次梯度（subgradient）方法

72 阅读 0 评论 48 点赞

我是靠谱客的博主贤惠柠檬，最近开发中收集的这篇文章主要介绍【机器学习】次梯度（subgradient）方法，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

次梯度方法(subgradient method)是传统的梯度下降方法的拓展，用来处理不可导的凸函数。它的优势是比传统方法处理问题范围大，劣势是算法收敛速度慢。但是，由于它对不可导函数有很好的处理方法，所以学习它还是很有必要的。

次导数

设f:I→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如最经典的例子就是 $f(x) = |x|$ ，在 $x=0$ 处不可导。但是，从下图的可以看出，对于定义域内的任何 $x_0$ ，我们总可以作出一条直线，它通过点 $(x_0, f(x_0))$ ，并且要么接触f的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。

ä¸å¯å¾®å½æ°

次导数与次微分(subdifferential)计算方式

凸函数f:I→R在点x0的次导数，是实数c使得：

$f(x) - f(x_0) \geq c(x - x_0)$

原导数计算公式为： ${f(x)-f(x_0) over x-x_0}=c$

对该定义略作解释：

按照上面次导数对定义方式，次导数c应满足条件：

$c\leq {f(x)-f(x_0) \over x-x_0}$

对于函数 $left | x right |$ 而言，只有在 $x=0$ 处不可导，即我们考虑在 $x_0=0$ 处的次导数：

$\begin{align*} c&\leq {f(x)-f(0) \over x-0}\\ \rightarrow x\cdot c&\leq f(x)\\ \rightarrow c\cdot x&\leq \left | x \right | \end{align*}$

很容易就可以得出：

$\begin{align*} \left | c \right |&\leq1\\ \rightarrow c&\in[-1,1] \end{align*}$

接下来给出正宗的计算定义：

对于所有I内的x。我们可以证明，在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b]，其中a和b是单侧极限

$a = \lim_{ x \rightarrow x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$

$b = \lim_{ x \rightarrow x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$

它们一定存在，且满足a ≤ b。
所有次导数的集合 $[a, b]$ 称为函数f在 $x_0$ 的次微分。

例如：考虑凸函数 $f(x)=|x|$ 。在原点的次微分是区间[−1, 1]。 $x_0<0$ 时，次微分是单元素集合{-1}，而 $x_0>0$ ，则是单元素集合{1}。

次导数与次微分的一些性质

凸函数f:I→R在 $x_0$ 可导，当且仅当次微分只由一个点组成，这个点就是函数在 $x_0$ 的导数。
点 $x_0$ 是凸函数f的最小值，当且仅当次微分中包含零，也就是说，在上面的图中，我们可以作一条水平的“次切线”。这个性质是“可导函数在极小值的导数是零”的事实的推广。

次梯度（subgradient）

到这里，我们总算是搞清楚次导数和次微分是什么东西了。

将次导数和次微分的概念推广到多元函数，就可以得到次梯度了。如果f:U→ R是一个实变量凸函数，定义在欧几里得空间 $\mathbb{r}^n$ 内的凸集，则该空间内的向量v称为函数在点 $x_0$ 的次梯度，如果对于所有U内的x，都有：

$f(x) - f(x_0) \geq v \cdot(x - x_0)$

所有次梯度的集合称为次微分，记为 $partial{f(x_0)}$ $∂f(x_0)$ 。次微分总是非空的凸紧集。

此记法与前面的次导数记法极为相似。我们用更为常见的记法来定义次梯度：

次梯度（Subgradient）与梯度的概念类似，凸函数的First-order characterization(一阶特征描述)是指如果函数f可微，那么当且仅当 $domain(f)$ 为凸集，且对于 $forall x,x_0 in domain(f)$ ，使得 $f(x) geq f(x_0)+nabla f(x_0)^t(x-x_0)$ ，则函数 $f$ 为凸函数。这里所说的次梯度是指在函数 $f$ 上的点 $x$ 满足以下条件的 $g in mathbb{r}^n$ ：

$f(x) \geq f(x_0) + g^t(x-x_0)$

其中，函数 $f$ 不一定要是凸函数，非凸函数也可以，即对于凸函数或者非凸函数而言，满足上述条件的 $g$ 均为函数在该点的次梯度。但是，凸函数总是存在次梯度（可以利用epigraph和支撑平面理论证明），而非凸函数则不一定存在次梯度，即使 $f$ 可微。这里主要包含两层意思：1.用次梯度对原函数做出的泰勒一阶展开估计总是比真实值要小；2.次梯度可能不唯一。

很明显，凸函数的次梯度一定存在，如果函数 $f$ 在点 $x$ 处可微，那么 $g=nabla f(x)$ ，为函数在该点的梯度，且唯一；如果不可微，则次梯度不一定唯一。但是对于非凸函数，次梯度则不一定存在，也不一定唯一。例如，凸函数 $parallel x parallel_p$ 范数为凸函数，但不满足处处可微的条件，因此，函数的次梯度不一定唯一，如下图：

左一图为 $parallel x parallel_2$ ，函数在 $x neq 0$ 时，次梯度唯一，且 $g=x / parallel x parallel_2$ ；当 $x = 0$ 时，次梯度为 ${ z: parallel z parallel_2 leq 1 }$ 中的任意一个元素；

左二图为 $parallel x parallel_1$ ，函数在 $x neq 0$ 时，次梯度唯一，且 $g=sign(x)$ ；当 $x = 0$ 时，次梯度为 $[-1,1]$ 中的任意一个元素；

同样，绝对值函数 $f(x)=mid xmid$ 和最大值函数 $f(x)=max{ f_1(x), f_2(x) }$ 在不可微点处次梯度也不一定唯一，如下图：

对于最大值函数而言，其在满足 $f_1(x)=f_2(x)$ 的点处，次梯度为任意一条直线在向量 $nabla f_1(x)$ 和 $nabla f_2(x)$ 之间。

同理，我们还可以给出在高维情形下次微分（subdifferential）的定义，即：

$\partial f(x) = \{ g \in \mathbb{r}^n: g \, is \, a \, subgradient \, of \, f \, at \, x \}$

次微分是闭合且为凸集；
如果函数 $f$ 在点 $x$ 处可微，那么次微分等于梯度；
凸函数的次微分不为空，但非凸函数则不一定。

次梯度的性质

Scalingf(数乘不变性)： $partial (af)=acdot partial f$ ；
Addition(加法不变性)： $partial (f_1+f_2)=partial f_1 + partial f_2$ ；
Affine composition(仿射特性)：如果 $g(x)=f(ax+b)$ ，那么 $partial g(x)=a^t partial f(ax+b)$ ；
Finite pointwise maximum(有限最大值)：如果 $f(x)=max limits_{i=1,ldots,m} f_i(x)$ ，那么 $partial f(x)=conv(bigcup limits_{i:f_i(x)=f(x)} partial f_i(x))$ ，意味着函数 $f_i(x)$ 的次微分等于所有能取得最大值的函数 $f_i(x)$ 在点 $x$ 处的微分，具体实例可参考之前提到的最大值函数部分。

为什么要计算次梯度？

在开头已经粗略的阐述了次梯度方法的使用情景，在这里在详细的复述一遍。

对于光滑的凸函数而言，我们可以直接采用梯度下降算法求解函数的极值，但是当函数不处处光滑、处处可微的时候，梯度下降就不适合应用了。因此，我们需要计算函数的次梯度。对于次梯度而言，其没有要求函数是否光滑，是否是凸函数，限定条件很少，所以适用范围更广。

次梯度具有以下优化条件（subgradient optimality condition）：对于任意函数 $f$ （无论是凸还是非凸），函数在点 $x$ 处取得最值等价于：

$f(x^{\ast})=\min \limits_{x} f(x) \, \leftrightarrow \, 0 \in \partial f(x^{\ast})$

即，当且仅当0属于函数 $f$ 在点 $x^{ast}$ 处次梯度集合的元素时， $x^{ast}$ 为最优解。

这与之前所描述的次导数的性质相符合。

证明：

证明很简单，当次梯度 $g=0$ 时，对于所有 $x in domain(f)$ ，存在 $f(x) geq f(x^{ast}) + 0^t (x-x^{ast})=f(x^{ast})$ ，所以， $x^{ast}$ 为最优解，即证。

次梯度算法

介绍完前面的基础知识，终于要开始介绍算法了～

经典梯度下降算法实际上是利用负梯度总是指向最小值点这一性质，然后每次迭代 $x^{(k)}=x^{(k-1)}-alpha_{k}nabla f(x^{(k-1)})$ ， $alpha_k$ 是一个很小的控制步进长度的数，可以是常量也可以是变量，迭代过程一直进行直到收敛。

次梯度算法（Subgradient method）与梯度下降算法类似，仅仅用次梯度代替梯度，即：

$x^{(k)} = x^{(k-1)} - t_k \cdot g^{(k-1)}, \, k=1,2,3,\ldots$

其中， $g^{(k-1)} in partial f(x^{(k-1)})$ ，为 $f(x)$ 在点 $x$ 处的次梯度。

与梯度下降算法不同的地方在于，次梯度算法并不是下降算法，每次对于参数的更新并不能保证代价函数是呈单调递减的趋势，因此，一般情况下我们选择：

$f(x_{best}^{(k)}) = \min \limits_{i=0,\ldots,k} f(x^{(i)})$

另一点与梯度下降算法不同的是：次梯度算法没有明确的步长选择方法，类似Exact line search和Backtracking line search的方法，只有步长选择准则，具体如下：

Fixed step sizes： $t_k = t, , all , k = 1,2,3,ldots$ ；
Diminishing step sizes：选择满足以下条件的 $t_k$ :

$\sum_{k=1}^{\infty} t_k^2 < \infty, \, \sum_{k=1}^{\infty} t_k = \infty %]]$

Diminishing step sizes方法主要是保证步长逐渐变小，同时，变化幅度还不会特别快。这里需要注意的是，次梯度算法并不像梯度下降一样，可以在每一次迭代过程中自适应的计算此次步长（adaptively computed），而是事先设定好的（pre-specified）。

但是，很多人会提出这样一个问题，如果你不能保证次梯度是单调的，如何保证最后可以收敛？

定理：如果 $f$ 为凸函数，且满足Lipschitz continuous with G，如果固定步长为 $t$ ，那么次梯度算法满足：

$\lim \limits_{k \rightarrow \infty} f(x_{best}^{(k)}) \leq f^{\ast} + \frac{g^2 t}{2}$

lipschitz条件：

对于在实数集的子集的函数，若存在常数，使得，则称符合利普希茨条件，对于最小的常数称为的利普希茨常数。若，称为收缩映射。

在高维情形下：

$\mid f(x) - f(y) \mid \leq g\parallel x-y \parallel_2$

证明：

对于 $forall k$ ， $x^{(k+1)} = x^{(k)} - t g^{(k)}$ ，其中 $g in partial f(x)$ 。因此，我们可以展开下式为：

$\begin{align*} \begin{split} \parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 & = \parallel x^{(k)} - t g^{(k)} - x^{\ast} \parallel_2^2 \\ & = \parallel x^{(k)}-x^{\ast} \parallel_2^2 - 2 t g^{(k)}(x^{(k)} - x^{\ast}) + t^2 \parallel g^{(k)} \parallel_2^2 \end{split} \end{align*}$

因为， $f(x^{ast}) = f^{ast}$ ，且由凸函数一阶性质可得 $f(x^{ast}) geq f(x^{(k)}) + g^{(k)t}(x^{ast}-x^{(k)})$ ，上式不等式可以写为：

$\parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 \ \leq \ \parallel x^{(k)}-x^{\ast} \parallel_2^2 - 2t (f(x^{(k)}) - f^{\ast}) + t^2 \parallel g^{(k)} \parallel_2^2$

对于任意 $k=1,2,ldots, k$ ，求和上式可以获得：

$\begin{align*} \begin{split} \sum_{k=1}^k (\parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 - \parallel x^{(k)} - x^{\ast} \parallel_2^2) & = \parallel x^{(k+1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 - \parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 \\ & \leq -2t \sum_{i=1}^k (f(x^{(i)}) - f^{\ast}) + \sum_{i=1}^k t^2 \parallel g^{(i)} \parallel_2^2 \end{split} \end{align*}$

因为， $parallel x^{(k+1)} - x^{ast} parallel_2^2 geq 0$ ，所以：

$2t \sum_{i=1}^k (f(x^{(i)}) - f^{\ast}) \leq \parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 + \sum_{i=1}^k t^2 \parallel g^{(i)} \parallel_2^2$

如果令 $f(x_{best}^{k})$ 为迭代 $k$ 次内的最优解，那么 $f(x_{best}^{(k)}) leq f(x^{(i)})$ ，其中， $i=1,2,ldots,k$ ，因此：

$\begin{align*} 2tk(f(x_{best}^{(k)}) - f^{\ast}) &= 2t \sum_{i=1}^k (f(x_{best}^{(k)}) - f^{\ast})\\ &\leq 2t \sum_{i=1}^k (f(x^{(i)}) - f^{\ast}) \\&\leq \parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 + \sum_{i=1}^k t^2 \parallel g^{(i)} \parallel_2^2 \end{align*}$

所以，我们可以得到 $f(x_{best}^{(k)}) - f^{ast} leq frac{parallel x^{(1)} - x^{ast} parallel_2^2 + sum_{i=1}^k t^2 parallel g^{(i)} parallel_2^2}{2tk}$

同时，因为函数满足Lipschitz continuous with G，所以， $mid f(x) - f(y) mid leq g parallel x-y parallel_2$ ，即函数的次梯度 $parallel g parallel_2 leq g$ 。

综上所述，我们可以证明下式成立：

$\begin{align*} \begin{split} f(x_{best}^{(k)}) - f^{\ast} & \leq \frac{\parallel x^{(1)} - x^{\ast} \parallel_2^2 + t^2 k g^2}{2tk} \\ & = \frac{r^2}{2tk}+ \frac{g^2t}{2} \end{split} \end{align*}$

其中 $r$ 为初值 $x^{(1)}$ 与最优点 $x^*$ 之间的二范数距离。

当 $k rightarrow infty$ ，既证上述定理成立。

此时，如果我们想要获得 $epsilon$ -最优解，则令 $frac{r^2}{2tk}+ frac{g^2t}{2} = epsilon$ ，令等式的每一部分等于 ${epsilon over 2}$ ，则 $k=frac{r^2}{t} cdot frac{1}{epsilon}=frac{r^2g^2}{epsilon^2}$ 。

因此，次梯度的收敛速度为 $o(frac{1}{epsilon^2})$ ，跟梯度下降算法收敛速度 $o(frac{1}{epsilon})$ 相比，要慢许多。

下面是次梯度法的一般方法：

$t=1$ 选择有限的正的迭代步长 ${alpha_t}_{t=1}^{infty}$
计算一个次梯度 $mathbf{g}in partial f(mathbf x^t)$
更新 $mathbf x^{t+1}=mathbf x^t-alpha_t mathbf{g}^t$
若是算法没有收敛，则 $t=t+1$ 返回第二步继续计算

次梯度方法性质：

简单通用性：就是说第二步中， $partial f(x^t)$ 任何一个次梯度都是可以的。
收敛性：只要选择的步长合适，总会收敛的。
收敛慢：需要大量的迭代才能收敛。
非单调收敛： $-mathbf{g}^t$ 不一定是下降方向，在这种情况下，不能使用线性搜索选择合适的 $alpha_t$ 。
没有很好的停止准则。

对于不同步长的序列的收敛结果

不妨设 $f(x_{best}^{(k)}) = min limits_{i=0,ldots,k} f(x^{(i)})$ 是 $k$ 次迭代中的最优结果。

1).步长和不可消时（Non-summable diminishing step size）:

$lim_{krightarrow infty }alpha_k=0$ 并且 $sum_{k=1}^{infty}alpha_k=infty$ 这种情况能够收敛到最优解： $lim_{krightarrow infty}f(x_{best}^{(k)})-f(x^{*})=0$

2).Constant step size:

$alpha_k=gamma,where gamma>0, k =1,2,3cdots$ ，收敛到次优解： $lim_{krightarrow infty}f(x_{best}^{(k)}) -f(x^{*})leq alpha g^2/2$
3).Constant step length:

$alpha_k=frac{ gamma }{||g^k||}(i.e. ||x^{k+1}-x^{k}||=gamma),||g||leq g,forall ginpartial f$ ，能够收敛到次优解 $lim_{krightarrow infty}f(x_{best}^{(k)})-f(x^{*})leq gamma g/2$
4).Polyak’s rule:

$alpha_k=frac{f(x^k)-f(x^{*})}{||g^k||^2}$ ，若是最优值 $f(x^*)$ 可知则可以用这种方法。

次梯度算法实例

A. Regularized Logistic Regression

对于逻辑回归的代价函数可记为：

$f(\beta) = \sum_{i=1}^n (-y_i x_i^t \beta + log (1+exp(x_i^t \beta)))$

明显，上式是光滑且凸的，而regularized problem则是指优化目标函数为：

$\min \limits_{\beta \in \mathbb{r}^p} f(\beta) + \lambda \cdot p(\beta)$

如果 $p(beta)=parallel beta parallel_2^2$ ，则成为岭回归（ridge problem），如果 $p(beta)=parallel beta parallel_1$ 则称为Lasso回归。对于岭回归，我们仍然可以采用梯度下降算法求解目标函数，因为函数处处可导光滑，而Lasso问题则无法用梯度下降算法求解，因为函数不是处处光滑，具体可参考上面给出的Norm-1的定义，所以，对于Lasso问题需要选用次梯度算法求解。

下图是对于同样数据集下分别对逻辑回归选用岭惩罚和Lasso惩罚求解最优解的实验结果图（n=1000,p=20n=1000,p=20）：

B. 随机次梯度算法

上面讲到的次梯度算法梯度更新定义为：

$x^{(k)} = x^{(k-1)} - t_k \cdot {1\over m}\cdot \sum_{i=1}^m g_{i}^{(k-1)}, \, k=1,2,3,\ldots$

随机次梯度算法（Stochastic Subgradient Method）与次梯度算法(Subgradient Method)相比，每次更新次梯度是根据某一个样本计算获得，而不是通过所有样本更新次梯度，其定义为：

$x^{(k)} = x^{(k-1)} - t_k \cdot g_{k_i}^{(k-1)}$

其中， $k_i in {1,ldots,m }$ 是第 $k$ 次迭代随机选取的样本 $i$ 。从该方法的定义，我们也可引出随机梯度下降算法（Stochastic Gradient Descent）的定义，即当函数 $f$ 可微连续时， $g_i^{(k-1)} = nabla f_(x_i^{(k-1)})$ 。

所以，根据梯度更新的方式不同，次梯度算法和梯度下降算法一般被称为“batch method”。从计算量来讲， $m$ 次随机更新近似等于一次batch更新，二者差别在于 $sum_{i=1}^m[nabla f(x_{i}^{(k)}) - nabla f(x_{k_i}^{(k)})]$ ，当 $x$ 变化不大时，差别可以近似等于0。