多项式核函数相关推导

定义 设$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T\in R^n$,则称乘积$x_{j_1}{x}_{j_2}\dots x_{j_d}$为$x$的一个$d$阶多项式，其中 j 1 , j 2 , … , j d ∈ { 1 , 2 , … , n } j_1,j_2,dots,j_d in {1,2,dots,n} j1​,j2​,…,jd​∈{1,2,…,n}

有序齐次多项式

  考虑二维空间（$x\in R^2$）的模式，$x=(x_1,x_2{)}^T$,其所有的二阶单项式为$x_i^2,x_2^2,x_1{x}_2,x_2{x}_1$ 为有序单项式。

$C_2(x)=(x_1^2,x_2^2,x_1{x}_2,x_2{x}_1{)}^T$
C d ( x ) = ( x j 1 x j 2 … x j d ∣ j 1 , j 2 , … , j d ∈ { 1 , 2 , … , n } ) T C_d(x)=(x_{j_1}x_{j_2}dots x_{j_d}|_{j_1,j_2,dots,j_d in {1,2,dots,n}})^T Cd​(x)=(xj1​​xj2​​…xjd​​∣j1​,j2​,…,jd​∈{1,2,…,n}​)T

1、二次项推导

$$令x=(x_1,x_2{)}^T,y=(y_1,y_2{)}^T$$
$$\begin{array}{rl}{C}_2(x)\cdot C_2(y)& =(x_1^2,x_2^2,x_1{x}_2,x_2{x}_1{)}^T\cdot (y_1^2,y_2^2,y_1{y}_2,y_2{y}_1{)}^T\\ & =x_1^2{y}_1^2+x_2^2{y}_2^2+x_1{x}_2{y}_1{y}_2+x_2{x}_1{y}_2{y}_1\\ & =(x\cdot y{)}^2\end{array}$$

2、多次幂推导

令 x = ( x j 1 , x j 2 , … , x j d ∣ j 1 , j 2 , … , j d ∈ { 1 , 2 , … , n } ) T 令 x=(x_{j_1},x_{j_2},dots,x_{j_d}|_{j_1,j_2,dots,j_d in {1,2,dots,n}})^T 令x=(xj1​​,xj2​​,…,xjd​​∣j1​,j2​,…,jd​∈{1,2,…,n}​)T
y = ( y j 1 , y j 2 , … , y j d ∣ j 1 , j 2 , … , j d ∈ { 1 , 2 , … , n } ) T y=(y_{j_1},y_{j_2},dots,y_{j_d}|_{j_1,j_2,dots,j_d in {1,2,dots,n}})^T y=(yj1​​,yj2​​,…,yjd​​∣j1​,j2​,…,jd​∈{1,2,…,n}​)T
C d ( x ) ⋅ C d ( y ) = ( x j 1 , x j 2 , … , x j d ∣ j 1 , j 2 , … , j d ∈ { 1 , 2 , … , n } ) T ⋅ ( y j 1 , y j 2 , … , y j d ∣ j 1 , j 2 , … , j d ∈ { 1 , 2 , … , n } ) T = ∑ j 1 = 1 n ⋯ ∑ j d = 1 n x j 1 … x j d ⋅ y j 1 … y j d = ∑ j 1 = 1 n x j 1 y j 1 ⋯ ∑ j d = 1 n x j d y j d = ( ∑ j = 1 n x i y i ) d = ( x ⋅ y ) d begin{aligned} C_d(x)·C_d(y) &=(x_{j_1},x_{j_2},dots,x_{j_d}|_{j_1,j_2,dots,j_d in {1,2,dots,n}})^T · (y_{j_1},y_{j_2},dots,y_{j_d}|_{j_1,j_2,dots,j_d in {1,2,dots,n}})^T\ &=sum_{j_1=1}^ndotssum_{j_d=1}^n x_{j_1}dots x_{j_d} · y_{j_1}dots y_{j_d}\ &=sum_{j_1=1}^n x_{j_1}y_{j_1} dots sum_{j_d=1}^n x_{j_d}y_{j_d}\ &=(sum_{j=1}^nx_iy_i)^d=(x·y)^d end{aligned} Cd​(x)⋅Cd​(y)​=(xj1​​,xj2​​,…,xjd​​∣j1​,j2​,…,jd​∈{1,2,…,n}​)T⋅(yj1​​,yj2​​,…,yjd​​∣j1​,j2​,…,jd​∈{1,2,…,n}​)T=j1​=1∑n​⋯jd​=1∑n​xj1​​…xjd​​⋅yj1​​…yjd​​=j1​=1∑n​xj1​​yj1​​⋯jd​=1∑n​xjd​​yjd​​=(j=1∑n​xi​yi​)d=(x⋅y)d​

最后

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