1 题目描述

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例1：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

示例2：

输入: n = 10, m = 17
输出: 2

限制：

1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6

2 解题思路

方法：链表模拟（超时）

• 将[0,n]依次存储在链表中；
• 只要链表的长度不为1，就一直循环，如果到了第m个就remove；否则将其添加到链表尾部；
• 时间复杂度为O(mn)。

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for (int i = 0;i < n;i++) {
            list.add(i);
        }
        while (list.size() > 1) {
            for (int j = 0;j < m;j++) {
                if (j != m - 1) list.add(list.get(0));
                list.remove(0);
            }
        }
        return list.get(0);
    }
}

方法：数学+递归

题目中的要求可以表述为：给定一个长度为n的序列，每次向后数m个元素并删除，那么最终留下的是第几个元素？

这个问题很难快速给出答案。但是同时也要看到，这个问题似乎有拆分为较小子问题的潜质：如果我们知道对于一个长度n-1的序列，留下的是第几个元素，那么我们就可以由此计算出长度为n的序列的答案。

算法：
我们将上述问题建模为函数f(n,m)，该函数的返回值为最终留下的元素的序号。

首先，长度为n的序列会先删除第m%n个元素，然后剩下一个长度为n-1的序列。那么，我们可以递归地求解f(n-1,m)，就可以知道对于剩下的n-1个元素，最终会留下第几个元素，我们设答案为x=f(n-1,m)。

由于我们删除了第m%n个元素，将序列的长度变为n-1。当我们知道了f(n-1,m)对应的答案x之后，我们也就可以知道，长度为n的序列最后一个删除的元素，应当是从m%n开始数的第x个元素。因此有f(n,m)=(m%n+x)%n=(m+x)%n。

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        return f(n,m);
    }
    private int f(int n, int m) {
        if (n == 1) return 0;
        int x = f(n-1,m);
        return (x + m) % n;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)，需要求解的函数值有 n 个。
• 空间复杂度：O(n)，函数的递归深度为 n，需要使用 O(n) 的栈空间。

最后

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