示意图
其中l1、l2为极线（极平面与像素平面I1,I2的相交线）如图，PO1O2为极平面 e1,e2为极点，p1、p2分别为P在照片I1和I2上的投影
设P的世界坐标为
(
x
y
z
)
Bigg (begin{matrix} x\y\z end{matrix}Bigg)
(xyz)
由针孔相机模型
s
1
(
x
′
y
′
1
)
=
(
f
x
0
C
x
0
f
y
C
y
0
0
1
)
(
x
y
z
)
=
K
P
s_1Bigg (begin{matrix} x'\y'\1 end{matrix}Bigg)= Bigg (begin{matrix} f_x&0&C_x\0&f_y&C_y\0&0&1 end{matrix}Bigg) Bigg (begin{matrix} x\y\z end{matrix}Bigg)=KP
s1(x′y′1)=(fx000fy0CxCy1)(xyz)=KP
即
s
1
P
1
=
K
P
s_1P_1=KP
s1P1=KP
s
1
s_1
s1为P到p1的距离，K为内参矩阵,
P
1
、
P
2
P_1、P_2
P1、P2为
p
1
p_1
p1、
p
2
p_2
p2的其次坐标形式
同理在第二个时刻的照片中
s
2
P
2
=
K
(
R
P
+
t
)
s_2P_2=K(RP+t)
s2P2=K(RP+t)
R，t为旋转平移参数
此时我们定义尺度意义下相等（就是进行归一化平面投影，将深度信息设为1）
P
1
≃
K
P
P_1simeq KP
P1≃KP 和
P
2
≃
(
R
K
+
t
)
P
P_2simeq (RK+t)P
P2≃(RK+t)P
令
x
1
=
K
−
1
P
1
x_1=K^{-1}P_1
x1=K−1P1
x
2
=
K
−
1
P
2
x_2=K^{-1}P_2
x2=K−1P2
将
P
1
≃
K
P
P_1simeq KP
P1≃KP
s
2
P
2
=
K
(
R
P
+
t
)
s_2P_2=K(RP+t)
s2P2=K(RP+t)
左右同左乘
K
−
1
K^{-1}
K−1，
得
K
−
1
P
1
≃
P
K^{-1}P_1simeq P
K−1P1≃P
K
−
1
P
2
≃
I
(
R
P
+
t
)
K^{-1}P_2 simeq I(RP+t)
K−1P2≃I(RP+t)
所以
x
2
≃
R
P
+
t
x_2simeq RP+t
x2≃RP+t
x
2
≃
R
x
1
+
t
x_2simeq Rx_1+t
x2≃Rx1+t
两边同左乘
t
^
that{}
t^ (
t
^
为
反
对
称
矩
阵
，
有
t
^
t
=
0
that{}为反对称矩阵，有that{}t=0
t^为反对称矩阵，有t^t=0)
t
^
x
2
≃
t
^
R
x
1
that{}x_2simeq that{}Rx_1
t^x2≃t^Rx1
两边再同左乘
x
2
T
x_2^T
x2T
x
2
T
t
^
x
2
≃
x
2
T
t
^
R
x
1
x_2^Tthat{}x_2simeq x_2^Tthat{}Rx_1
x2Tt^x2≃x2Tt^Rx1
因为
t
^
x
2
that{}x_2
t^x2是一个与
t
t
t和
x
2
x_2
x2都垂直的向量
所以，
x
2
T
t
^
x
2
=
0
x_2^Tthat{}x_2=0
x2Tt^x2=0,
x
2
T
t
^
R
x
1
=
0
x_2^Tthat{}Rx_1=0
x2Tt^Rx1=0
将之前的
x
1
=
K
−
1
P
1
x_1=K^{-1}P_1
x1=K−1P1,
x
2
=
K
−
1
P
2
x_2=K^{-1}P_2
x2=K−1P2 带入上式得
P
2
T
K
−
1
t
^
R
K
−
1
P
1
=
0
P_2^TK^{-1} that{} RK^{-1}P_1=0
P2TK−1t^RK−1P1=0
(对极约束)
此外我们还定义
本质矩阵
E
=
t
^
R
E=that{}R
E=t^R
基础矩阵
F
=
K
−
T
t
^
R
K
−
1
F=K^{-T}that{}RK^{-1}
F=K−Tt^RK−1
因此相机得运动估计问题转化为了求解本质矩阵或基础矩阵的问题。（因其只相差内参矩阵，所以一般求解本质矩阵E）
位姿估计具体过程
1.根据配对像素点的像素位置求出本质矩阵或者基础矩阵
2.根据本质矩阵或基础矩阵求R、t
最后
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