概率论与数理统计——几何分布的无记忆性证明

什么是几何分布

设一个试验成功的概率为p，独立重复该实验直到第一次成功，到成功为止，进行的试验次数，服从几何分布。

几何分布这个名字，得名于几何级数。这个几何级数，就是我们所熟悉的等比数列的前n项和，又称为等比级数。等比数列又被称为几何数列，这是因为，除了首位两项，每一项都是其前后两项的几何平均数。

几何分布的无记忆性

若X服从参数为p的几何分布，n，m为两个正整数，则有

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>m)$$

上式即为几何分布的无记忆性的公式。

为什么称其为无记忆性

从几何分布的定义出发，已经进行了n次试验没有成功，再进行m次试验，没有成功的概率，与之前已知的信息(n次试验失败)没有关系。也就是说，并不会因为之前n次试验的失败，而会使第n+1次之后的试验成功率上升。

无记忆性的证明

通过数学的推导来进行证明。

Step 1

设事件X>n+m为事件A，事件X>n为事件B。
那么由条件概率的公式

$$P(X>n+m|X>n)=P(A|B)=P(AB)/P(B)=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}$$

(事件AB即A与B同时发生，由于A⊆B，则AB=A，所以P(AB)=P(A)=P(X>n+m))

Step 2

我们以P(X>m)为例。
因为几何分布是一种离散型分布，因此，我们可以把P(X>m)写成下面这种形式

$$P(X>m)=\sum _{k=m+1}^{\infty }P(X=k)$$

由于

$$P(X=k)=q^{k-1}p$$

所以

$$P(X>m)=\sum _{k=m+1}^{\infty }P(X=k)=p\sum _{k=m+1}^{\infty }{q}^{k-1}=p(q^m+q^{m+1}+...)$$

由等比数列求和公式

$$原式=p\frac{q^m(1-q^{\infty })}{1-q}$$

因为q<1，所以当指数趋近于无穷

$$q^{\infty }=0$$

又因为

$$1-q=p$$

所以

$$原式=q^m$$

即

$$P(X>m)=q^m$$

同理可得P(X>n)，P(X>m+n)。

Step 3

由Step 1中得到的

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)$$

带入Step 2中得到的结论

$$P(X>n+m)=q^{n+m}$$

$$P(X>n)=q^n$$

所以

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)=\frac{q^{n+m}}{q^n}=q^m=P(X>m)$$

最后得到

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>m)$$

由此，无记忆性的公式证明完成。

最后

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