几何分布

几何分布用于描述这种分布：独立事件的结果只有2个：”1和0“ 或”成功和失败“等，成功的概率为$p$, 失败的概率为$q=1-p$; 第r次成功的概率为
$$P(X=r)=p\cdot q^{r-1}$$

即用来描述进行多次伯努利事件，第1次成功次数的概率；换句话说每一次事件都有成功和失败的可能，所关心的是第一次成功的概率或取得第一次成功需要试验的次数。

期望 ：$E(X)=\frac{1}{p}$

方差：$D(X)=E(X-E(X))=\frac{p}{q^2}$

由几何分布密度函数可以得出第1, 2, 3, … , k,k+1, …发生的概率为比例系数为q的等比数列，即：

$$p,pq,p{q}^2,...,p{q}^{k-1},p{q}^k,...$$

$$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=q$$

一种说法是等比数列又被称为几何数列，故该分布称为几何分布。

性质

1. 任何几何分布的众数为1， 看似违反直觉，但第1次成功的概率最大；

2. 大于r次成功的概率，即前r次均失败，为 $P(X>r)=q^r$

3. 小于等于r次成功的概率，即$P(X)\le 1-q^r$, 其实就是等比数列求和：
   $$P(X\le r)=\sum _{n=0}^{r}p\cdot q^{n-1}=\frac{p(1-q^r)}{1-q}=1-q^r$$

举例

掷色子，1-6点的概率均为1/6，掷出1点算赢，其它点算输，记 X为第一次掷出赢的次数，则：

$$P(X=r)=p{q}^{r-1}$$

其中p为1/6, q为5/6。

scipy.stats 中有geom模块，可以方便的计算各种参数：

"""po = stats.poisson(mu) 	#用于构造均值与μ的泊松分布；
po.pmf(k, mu, loc=0) 	# Probability mass function. 概率质量函数；
po.cdf(k, mu, loc=0) 	#Cumulative distribution function.累积分布函数；
po.ppf(q, mu, loc=0)	# Percent point function 百分点函数（cdf的倒数-百分位数）。
"""
p=1./6
N=20
x=np.arange(N+1)
po = stats.geom(p)		#构造发生概率为p的几何分布
pm = po.pmf(x)			#计算第1次发生次数的概率
# 图形
fig = plt.figure()
ax = plt.gca()
line1 = ax.stem(x,pm,basefmt='k',label='第1次掷出1点概率');
ax.set_xlabel('随机变量：掷出1点的次数');
ax.set_ylabel('发生概率');
ax.set_title('几何分布：p=1/6');

ax2=plt.twinx()
y=po.cdf(x)				#计算第1次时间发生的累积分布概率
line2 = ax2.plot(x,y,'r',label='累积概率')
ax2.set_ylabel('累积概率',color='r')
ax.legend(loc=(0.65,0.8));
ax2.legend(loc=(0.65,0.7))

# 打印累积发生概率大于等于50%的次数
po.ppf(0.5)

输出为：4.0 。

最后

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