题目：

1. 用代数插值方法描述平面两点定一直线的数学问题。

假定给定区间 $\left[x_k,x_{k+1}\right]$ 及端点函数值
$y_k=f\left(x_k\right),y_{k+1}=f\left(x_{k+1}\right)$,
要求线 性揷值多项式 $L_1\left(x_k\right)=y_k,L_1\left(x_{k+1}\right)=y_{k+1}y=L_1(x)$ 的几何意义就是通过两点
$\left(x_k,y_k\right)$ 与 $\left(x_{k+1},y_{k+1}\right)$ 的直线, $L_1(x)$ 的表达式可由几何意义直接给出 $L_1(x)=y_k+\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}\left(x-x_k\right)$ 由上可得给定平面两点可确定一直线。

2. 如何用插值方法求得区间[–1，1]到[a，b]的变换公式？

给定区间t ϵ [-1,1],得函数值 x ϵ [a,b] 端点处函数值如下表所示

由两点式方程可以构造出变换公式为：
$$x=\frac{1}{2}[(1-t)a+(t+1)b]$$

3. 插值问题的存在唯一性定理对插值条件是如何叙述的？

插值存在唯一性定理叙述插值条件如下所示:
设在区间 $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ 上给定 $\mathrm{n}+1$ 个点， $a\le x_0<x_1<\cdots <x_n\le b$ 上的函数值 $y_i=f\left(x_i\right),(i=0,1,\dots n)$, 求次数不超过 $\mathrm{n}$ 的多顶式 $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,$ 使 $P\left(x_i\right)=y_i,i=0,1,\dots ,n$
即当代数插值问题中所给出的插值结点是 (n+1) 个互异的结点时, 则必然存 在唯一的一个 $\mathrm{n}$ 次揷值多项式满足所给的揷值条件。代数插值问题本质上与一 个线性方程组求解问题等价。

4. 对二次多项式计算三点函数值并构造二次插值。插值与被插值函数有无区别？

无区别，证明如下：
由插值余项定理可知

$$R(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x)$$
当 $f(x)$ 是 $\mathrm{m}(\mathrm{m}\le n)$ 次多项式时
$f^{(n+1)}(x)=0$, 所以 $R(x)=0$,
从而 $f(x)=P_n(x)$, 所以当 $f(x)$ 是二次多项式时显然满足。所以无区别, 证明 完毕。

5. 拉格朗日插值基函数与牛顿插值基函数有何不同特点？

一、性质不同

• 1、牛顿插值：代数插值方法的一种形式。牛顿差值引入了差商的概念，使其在差值节点增加时便于计算。
• 2、拉格朗日插值：满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。

二、公式意义不同

• 1、牛顿插值：牛顿差值作为一种常用的数值拟合方法，由于其计算简单、计算点多、逻辑清晰、编程方便等特点，在实验分析中得到了广泛的应用。
  特别是在实验中，当只能测量离散数据点或用数值解表示相应的关系时，可以用牛顿插值公式拟合离散点，得到更精确的函数解析值。
• 2、拉格朗日插值：在许多实际问题中，函数被用来表示某些内部关系或规律，许多函数只能通过实验和观察来理解。如果实际观测到一个物理量，并在多个不同的地点得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，它可以精确地提取每个观测点的观测值。

综上：拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法插值法则更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。

6. Runge反例说明一个什么样的问题？

Runge反例说明了用高次代数插值可能引起震荡，使得插值函数不收敛于被插函数，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值。

7. 何谓切比雪夫插值? 切比雪夫插值误差有何改变？

• 使用平均分布的点作为插值多项式的基点X_i很普遍。在很多情况下，用于插值的数据点仅以这种形式存在，例如当数据由相同时间间隔分布的一起读取的数据所组成时。在其他情况下，我们可以在认为合适的地方自由选择基点。事实证明，基点间距选取的方式对于插值误差有很大的影响，切比雪夫插值是一种特定最优的点间距选取方式。
• 选择切比雪夫的根作为插值的基点，在区间[-1,1]中尽可能均匀地分散了插值误差，我们将使用切比雪夫根作为基点的插值多项式叫做切比雪夫插值多项式。
• 切比雪夫插值对于误差的改变：
• 总的来说，切比雪夫插值是一种特定最优的点间距选取方式，它和拉格朗日插值、牛顿差商公式相比，更能有效地避免龙格现象地出现，而且，能够更好地贴合原函数，也就是说，它的结果预测相对会更准确。

8.如何将区间[–1，1]上的切比雪夫插值结点映射到区间[a，b]上去？

移动基点使得它们在区间 $[a,b]$ 上的相对位置和在区间 $[-1,1]$ 上一致。这 可以通过如下两步实现:
（1）使用因子 $\frac{(b-a)}{2}$ 拉伸点（这是两个区间长度的比值）
（2）将点平移 $\frac{b+a}{2}$ ，使得中心从 0 移动到区间 $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ 的中心。
换言之, 从原始点 $:x_k=\cos \frac{(2k+1)\pi }{2n},k=0,1,2\dots n-1$ 移动到 $x_i=\frac{b-a}{2}\cos \frac{(2i+1)\pi }{2n}+\frac{b+a}{2},i=0,1,2\dots n-1$
$\left|\left(x-x_i\right)\dots \left(x-x_n\right)\right|\le \frac{{\frac{(b-a}{2})}^n}{2^{n-1}}$, 在区间 $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ 上成立。

9．埃尔密特插值与通常的插值方法有何不同？

埃尔密特插值: 有时候, 我们不仅要求插值函数在给定节点上函数值重 合, 而且要求若干阶导数重合; 即: 要求插值函数 $\phi (x)$ 满足:
$$\begin{array}{rl}& \phi \left(x_i\right)=f\left(x_i\right)\\ & {\phi }^{\prime }\left(x_i\right)=f^{\prime }\left(x_i\right)\\ & {\phi }^{\prime \prime }\left(x_i\right)=f^{\prime \prime }\left(x_i\right)\\ & {\phi }^{(n)}\left(x_i\right)=f^{(n)}\left(x_i\right)\end{array}$$

• 通常的插值方法：
  不需要节点上的若干阶导数值也相等，只需要在插值节点上的函数值相等。

10．样条插值有何特点？根据三次样条的数学概念描述二次样条函数。

• 什么是样条插值：简言之，就是依然对每一个小区间进行插值，但是我们不需要依赖于导数的已知；由于我们要做的就是使得端点处满足某种条件的光滑（一般来说，三次样条插值就是要满足二阶导数连续），根据这个要求，我们就可以在未知导数的情况下推导出样条函数。

• 因此，样条插值特点：可以在未知导数的情况下推导出样条函数

• 二次样条揷值:
  若 $\Delta :\mathrm{a}=x_0<x_1<x_2\dots <x_n=b$ 是区间 $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ 的一个分割, 函数 $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ 满足下列 条件:
  （1） 在每个小区间 $\left[x_i,x_{i+1}\right](\mathrm{i}=0,1,\cdots ,\mathrm{n})$ 上 $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ 是二次多项式;
  （2） $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ 在区间 $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ 上连续, 则称 $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ 为区间 $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ 上的二次样条函数。
  如果 $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ 还满足 $S\left(x_i\right)=y_i,(i=0,1,\dots n)$ 则称 $\mathrm{S}(\mathrm{x})$ 为区间 $[\mathrm{a},\mathrm{b}]$ 上的二次样条 插值函数。

最后

以上就是稳重荷花最近收集整理的关于数值分析思考题（钟尔杰版）参考解答——第五章题目：1. 用代数插值方法描述平面两点定一直线的数学问题。2. 如何用插值方法求得区间[–1，1]到[a，b]的变换公式？3. 插值问题的存在唯一性定理对插值条件是如何叙述的？4. 对二次多项式计算三点函数值并构造二次插值。插值与被插值函数有无区别？5. 拉格朗日插值基函数与牛顿插值基函数有何不同特点？6. Runge反例说明一个什么样的问题？7. 何谓切比雪夫插值? 切比雪夫插值误差有何改变？8.如何将区间[–1，1]上的切比雪夫插值结点映射到区间[的全部内容，更多相关数值分析思考题（钟尔杰版）参考解答——第五章题目：1.内容请搜索靠谱客的其他文章。