题目：

1. 解线性方程组的迭代法与直接法相比哪些不同？

• 直接法就是经过有限步算数运算，可求得线性方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差），适合解低阶方程组。
• 迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。适合解高阶方程组

2. 雅可比（Jacobi）迭代法中的迭代矩阵如何构造?

将线性方程组中的系数矩阵A分成三个部分，A = D - L - U 设

$a_{ii}\ne 0(i=1,2,\dots n)$, 选取 $\mathrm{M}$ 为 $\mathrm{A}$ 的对角元素部分, 即选取 $\mathrm{M}=\mathrm{D}$ （对角矩阵), $\mathrm{A}=\mathrm{D}-\mathrm{N}$, 所以 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的雅可比迭代法 $\{\begin{array}{c}{x}^{(0)}\text{, 初始向量, }\\ x^{(k+1)}=B{x}^{(k)}+f,k=0,1,\dots \end{array}$
$$B=I-M^{-1}A=M^{-1}(M-A),f=M^{-1}b$$
所以, $B=I-D^{-1}A=D^{-1}(L+U)\equiv J，f=D^{-1}b$, 称 $J$ 为解 $Ax=\mathrm{b}$ 的雅可比迭 代法的迭代矩阵。

3. 迭代法中的迭代矩阵与方程组数值解误差有何关系？

对于给定的线性方程组 $x=Bx+f$, 设有唯一解 $x^{\ast }$ 则
$x^{\ast }=B{x}^{\ast }+f$, (1)
又设 $x^{(0)}$ 为任取的初始向量, 按下述公式构造向量序列
$x^{(k+1)}=B{x}^k+f,k=0,1,2,\dots$ (2)
引进误差向量 ${\epsilon }^{(k+1)}=x^{(k+1)}-x^{\ast }$, 由 (2) 式减去 (1) 式得 ${\epsilon }^{(k+1)}=B{\epsilon }^{(k)}$, 递推得 ${\epsilon }^{(k)}=B{\epsilon }^{(k-1)}=\cdots =B^k{\epsilon }^{(0)}$

4. 迭代矩阵的幂级数有何数学意义？

设 $A\in C^{mn}$, 形如 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{c}_k{A}^k=c_{0}I+c_{1}A+c_2{A}^2+\cdots +c_k{A}^k+\cdots$ 的矩阵称为矩阵 的幂级数。
由矩阵幂级数定理可知, 设 $A\in C^{mn}$, 并且幂级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{c}_k{A}^k$ 的收敛半径为 $R$, 如果 $\rho (A)<R$, 则矩阵幂级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{c}_k{A}^k$ 绝对收敛, 若 $\rho (A)>R$, 矩阵幂级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{c}_k{A}^k$ 发散。
所以, 当迭代矩阵 B 的谱半径 $\rho (B)<1$ 时, 由迭代矩阵构成的幂级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{c}_k{B}^k$ 是收敛的.

5. 矩阵的谱半径与矩阵的范数相比哪一个大？

对于任何 $AϵR^{n\times n},\Vert \cdot \Vert$ 为任何一种算子范数, 则 $\rho (A)\le \Vert A\Vert$, 如果 $A\in R^{n\times n}$ 为对称矩阵时, 则 $\Vert A{\Vert }_2=\rho (A)$

6. 迭代法收敛定理对方程组数值解的误差是如何估计的？

设 $x^{\ast }$ 为方程组 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的解, 若 $\Vert B\Vert <1$, 则对迭代格式 $x^{(k+1)}=B{x}^{(k)}+f$
有
$\Vert x^{(k)}-x^{\ast }\Vert \le \frac{\Vert B\Vert }{1-\Vert B\Vert }\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)}\Vert$

7. 如果系数矩阵是主对角占优矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？

定理：设Ax=b如果：
（1） A为严格对角占优矩阵，则解Ax=b的雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法均收敛。
（2） A为弱对角占优矩阵，且A为不可约矩阵，则解 Ax = b 的雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法均收敛。
所以，当系数矩阵A为严格对角占优矩阵时可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组。当系数矩阵A为弱对角占优矩阵，且A为不可约矩阵时，可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组。

8. 如果系数矩阵是实对称正定矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？

若 $\mathrm{A}$ 为实对称正定矩阵, 则高斯赛德尔法一定收玫, 但雅可比法则不一定收 敛。
定理: 设矩阵 $\mathrm{A}$ 对称, 且对角元 $a_{ii}>0,(i=1,2,\dots n)$ 则
（1）解线性方程组 $Ax=b$ 的雅可比迭代法收敛的充分必要条件是 A 及 2D - A 均为正定矩阵, 其中 $\mathrm{D}=\mathrm{diag}\left(a_{11},a_{22},\cdots a_{nn}\right)$ 。
$\mathrm{n}$ 解线性方程组 $Ax=b$ 的高斯赛德尔法收敛的充分必要条件是 $A$ 正定。

9. 何谓共轭向量组？共轭向量组与正交向量组有何区别？

设 A 对称正定, 若 $R^n$ 中向量组 $\left\{p^{(0)},p^{(1)},\dots p^{(m)}\right\}$ 满足
$$\left(A{p}^{(i)},p^{(j)}\right)=0,i\ne j,i,j=0,1,\dots m,$$
则称它为 $R^n$ 中的一个 $\mathrm{A}$-共轭向量组或称 $\mathrm{A}$-正交向量组, 显然, 当 $m<n$ 时, 不 含零向量的 $A$-共轭向量组线性无关, 当 $A=I$ 时, $A$-共轭性就是一般的正交性。

10. 何谓线性方程组的初等变分原理？初等变分原理有哪些应用？

对于一个系数矩阵是对称正定矩阵的线性方程组, 求解过程可以与一个多元二次函数的极小值点相联系, 这就是简单的变分原理。初等变分原理可以归结为下述定理:
设 $\mathrm{A}={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 为实对称正定矩阵, $b,x\in R^n$, 则 $\mathrm{x}$ 使得二次函数 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^{T}Ax-b^{T}x$ 取极小值的充分必要条件是 $\mathrm{x}$ 是线性方程组 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 的解。
应用:

1. 变分原理是力学分析中重要数学工具之一, 能量法、有限元法、加权残 值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
2. 求极值。
3. 解决一般力学的初值问题。

最后

以上就是谦让水杯为你收集整理的数值分析思考题（钟尔杰版）参考解答——第四章题目：1. 解线性方程组的迭代法与直接法相比哪些不同？2. 雅可比（Jacobi）迭代法中的迭代矩阵如何构造?3. 迭代法中的迭代矩阵与方程组数值解误差有何关系？4. 迭代矩阵的幂级数有何数学意义？5. 矩阵的谱半径与矩阵的范数相比哪一个大？6. 迭代法收敛定理对方程组数值解的误差是如何估计的？7. 如果系数矩阵是主对角占优矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？8. 如果系数矩阵是实对称正定矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？的全部内容，希望文章能够帮你解决数值分析思考题（钟尔杰版）参考解答——第四章题目：1. 解线性方程组的迭代法与直接法相比哪些不同？2. 雅可比（Jacobi）迭代法中的迭代矩阵如何构造?3. 迭代法中的迭代矩阵与方程组数值解误差有何关系？4. 迭代矩阵的幂级数有何数学意义？5. 矩阵的谱半径与矩阵的范数相比哪一个大？6. 迭代法收敛定理对方程组数值解的误差是如何估计的？7. 如果系数矩阵是主对角占优矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？8. 如果系数矩阵是实对称正定矩阵，是否可用雅可比迭代法或赛德迭代法求解方程组？所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。