Task06-高等代数之一元函数积分学(上、中、下)

Task06-高等代数之一元代数积分学

文章目录

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  • 摘要
  • 第一节-基本概念、性质
  • • 一、概念
    • • （一）不定积分
      • （二）定积分
      • （三）变限积分
      • （四）反常积分
      • （五）计算题
  • 第二节-讲题
  • • 二、计算
    • • （一）不定积分的积分法
      • • 1.基本积分公式
        • 2.凑微分法
        • 3.换元法
        • 4.分部积分法
        • 5.有理函数积分
        • 6.三角函数有理式的不定积分
        • 7.无理根式的不定积分
      • （二）定积分的计算
      • • 1.定积分的换元积分法
        • 2.定积分的分部积分法
      • 二、不定积分的基本计算
    • 基础例题精解-以下均为例题-未列示
    • • 一、一元函数积分学的概念与性质
      • 二、不定积分的基本计算
      • 三、定积分的精确定义
  • 第三节-计算题讲解
  • • • 四、定积分的计算
      • 五、变限积分
      • 六、反常积分的计算与敛散性

对应课程内容：张宇30讲-第8讲-一元函数积分学的概念与计算

B站视频：P6-P8

YOUTUBE：https://www.youtube.com/playlist?list=PLuolGRW5AOPyZ2ajGDNrpL47lUC4PBwjr

摘要

本章节主要内容为一元函数积分学，包括不定积分、定积分、变限积分、反常积分的基本定义、性质及重要例题；其中不定积分为微分的逆运算的考虑，主要求解方法包括基本积分公式、换元法（第一和第二）、凑微分法、分部积分法、有理函数积分、三角函数有理式的不定积分、无理根式的不定积分等；定积分主要求解包括换元法和分部积分法；

重要概念理解-区别与联系：

1.不定积分为微分的逆运算的考虑；

2.定积分指在区间有限，函数有界为前提；

3.当定积分的条件不满足时，引申出变限积分和瑕积分等；

第一节-基本概念、性质

中值定理-计算表达式证明-从结果出发

本节框架：

积分与微分关系：并非完全互逆，积分到微分要求苛刻

分类：不定积分、定积分、变限积分、反常积分（无穷/瑕积分）

不同分类的性质

应用：积分理解较难

一、概念

（一）不定积分

1.原函数与不定积分

求导的逆运算为不定积分

不定积分指一种运算，不定积分为原函数+常数

2.原函数（不定积分）存在定理

（1）连续函数必有原函数

初等函数指加减乘除四则运算后仍为初等函数

初等函数在定义域内连续

但初等函数原函数不一定为初等函数

（2）含有第一类间断点，无穷间断点的函数f(x)

（二）定积分

1.定积分的概念

黎曼积分，黎曼可积

概念里极限并非常规极限

极限：数列、函数极限，趋于0，无穷或某点；并非趋向于1点；

精确定义（重点），任意VS固定

不定积分与定积分的区别与联系：

区别：

联系：

例子：曲边梯形的面积

2.定积分存在定理

定积分存在定理包括下面两个方面：

（1）定积分的充分条件

若f(x)在[a,b]上连续、单调、有界且只有有限个间断点，则这三类情况下${\int }_a^{b}f(x)dx$存在

如果无限个间断点则不一定可积，无限个间断点之和不一定存在极限

（2）定积分的必要条件

可积函数必有界，即若定积分${\int }_a^{b}f(x)dx$存在，则$f(x)$在[a,b]上必有界

理解：充分必要条件

3.定积分的性质（假设积分均存在）

性质1-求区间长度：对1求积分即求区间长度

性质2-积分的线性性质：线性组合的定积分等于定积分的线性组合

性质3-积分的可加性：各区间可加

性质4-积分的保号性：函数大小决定积分的大小

性质5（估值定理）：$mL\le 积分\le ML$

性质6（中值定理，积分第一中值定理）：均值求面积

积分第二中值定理：单调递增或单调递减；及推论

（三）变限积分

定义、性质

求导公式

变限积分为函数，定积分为数值（极限值）

例题

（四）反常积分

1.定义

从定积分的概念引申，定积分条件：区间有限，积分函数有界，当不满足这些条件时

积分区间有限性不满足，无穷积分

积分函数有界性不满足，瑕积分

2.无穷区间上反常积分的概念与敛散性

3.无界函数反常积分的概念与敛散性

（五）计算题

第二节-讲题

https://www.bilibili.com/video/BV1H54y1J7Ka?p=7

分类：

不定积分、定积分、变限积分、反常积分

二、计算

（一）不定积分的积分法

1.基本积分公式

待整理

2.凑微分法

单独PPT

3.换元法

换元积分法-第一类：重要并常用

换元积分法-第二类：第一类反过来,注意彻底换元，即dx部分也换元

法2：积分的角度
思路：
整体代换，适用于根号类复杂
三角代换，$\sqrt{a^2-x^2},可令x=asint$

​ $\sqrt{a^2+x^2},可令x=atant$

​ $\sqrt{x^2-a^2},可令x=asect$

4.分部积分法

基本思想：求原函数的分部法<——————>求导数的乘法法则

求解过程：$\int udv=uv-\int vdu$

常用思路：第一类换元法，第2类换元法，分步积分法；或者混用

总结：常用求导公式

待理解题目：多项式函数乘以指数函数，1:20

5.有理函数积分

$有理数形式：\frac{A}{B}，引申有理函数\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$

第一步：有理函数因式分解，常见两种形式，第一种形式$\frac{A_k}{(x-a{)}^k}$

​ 第二种形式$\frac{B_{k}x+C_k}{(x^2+px+q{)}^k}$

第二步：分别求积分

​ 第一类：$\int \frac{1}{(x-1{)}^k}dK$

​ 第二类：$\int \frac{Lx+M}{(x^2+px+q)}dx$

重新理解:1:44

6.三角函数有理式的不定积分

$\int R(sinx,cosx)dx$

主要思路：三角函数———》有理函数

常用转换公式（万能公式）：

​ $sinx=\frac{2t}{1+t^2}$

​ $cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

​ $tan\frac{x}{2}=t$

7.无理根式的不定积分

常见形式：$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$

令$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$

$\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$,令$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{a}x+t$，这种欧拉变换

有理函数——》三角函数有理式——》无理根式（主要思路：整体代换和欧拉变换）

（二）定积分的计算

1.定积分的换元积分法

2.定积分的分部积分法

二、不定积分的基本计算

待整理

基础例题精解-以下均为例题-未列示

一、一元函数积分学的概念与性质

二、不定积分的基本计算

三、定积分的精确定义

待整理

第三节-计算题讲解

四、定积分的计算

积分与微分极限关系：

一般通过定积分求极限：

求极限方法总结：等价无穷小——>洛必达——>泰勒公式——>定积分

必掌握公式：

不严谨：求定积分条件是区间闭合，函数有界；

求和类，通常先考虑夹逼法则；如果当左右两个极限不相等，则考虑定积分

凑定积分方法

定积分，区间对称，奇偶性；周期区间换成对称区间

二倍角公式

五、变限积分

六、反常积分的计算与敛散性

例题讲解-略-待复习与练习

例题讲解-略-待复习与练习

张宇-例1.8.26

张宇-例1.8.27-万能公式

张宇-例1.8.28-

张宇-例1.8.29-

张宇-例1.8.30-

区间再现公式

万能公式

张宇-例1.8.31-

张宇-例1.8.33-华里士公式

张宇-例1.8.34-周期函数

张宇-例1.8.35-周期函数

张宇-例1.8.36-无理根式

张宇-例1.8.37-***

张宇-例1.8.38-分部积分法

变限积分

张宇-例1.8.39-分部积分法

张宇-例1.8.40

六、反常积分求解

张宇-例1.8.43

2.敛散性的判别

略

最后

以上就是过时大象为你收集整理的Task06-高等代数之一元函数积分学(上、中、下)的全部内容，希望文章能够帮你解决Task06-高等代数之一元函数积分学(上、中、下)所遇到的程序开发问题。

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