一道积分不等式的证明

设 $f(x)$ 是闭区间 $[0,1]$ 上满足 $f(0)=f(1)=0$ 的连续可微函数，求证不等式

$$left(int_0^1 f(x)mathrm{d}x right)^2 leq frac{1}{12} int_0^1 |f'(x)|^2 mathrm{d}x,$$
并且等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x),$ 其中 $A$ 是常数。

证明 由 Newton-Leibniz 公式，

$$f(x)=int_0^x f'(t)mathrm{d}t,quad f(x)=int_1^x f'(t)mathrm{d}t.$$
由分部积分公式
$$begin{align} int_0^1 f(x)mathrm{d}x &=int_0^1 int_0^x f'(t)mathrm{d}t mathrm{d}x \ &=xint_0^x f'(t)mathrm{d}t Bigg |^1_0-int_0^1 xf'(x)mathrm{d}x \ &=int_0^1 (1-x)f'(x)mathrm{d}x.quad(1) end{align}$$
$$begin{align} int_0^1 f(x)mathrm{d}x &=int_0^1 int_1^x f'(t)mathrm{d}t mathrm{d}x \ &=xint_1^x f'(t)mathrm{d}t Bigg |^1_0-int_0^1 xf'(x)mathrm{d}x \ &=-int_0^1 xf'(x)mathrm{d}x.quad(2) end{align}$$
将 (1)(2) 两式相加可得
$$int_0^1 f(x)mathrm{d}x=frac{1}{2}int_0^1 (1-2x) f'(x)mathrm{d}x.$$
因此由 Cauchy-Schwarz 不等式可得
$$begin{align} left(int_0^1 f(x)mathrm{d}x right)^2 &=frac{1}{4} left(int_0^1 (1-2x)f'(x)mathrm{d}x right)^2 \ &leq frac{1}{4} int_0^1(1-2x)^2mathrm{d}x cdot int_0^1 |f'(x)|^2 mathrm{d}x \ &=frac{1}{12} int_0^1 |f'(x)|^2 mathrm{d}x. end{align}$$
由 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立条件可知，上式等号成立当且仅当 $f'(x)=A(1-2x)$, 即 $f(x)=Ax(1-x)+C,$ 又由于 $f(0)=0,$ 因此 $C=0,$ 故等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x),$ 其中 $A$ 是常数。$quad square$

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后记

这种和 $f(x),f'(x)$ 有关的积分不等式往往要利用 Newton-Leibniz 公式和积分形式的 Cauchy-Schwarz 不等式。

最开始遇到这道题的时候，没有找到合适的方法使最终结果出现 $frac{1}{12}$, 苦苦思索几天仍未有所收获，终于在今天晚上突然联想到 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立条件，要证的是等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x)$, 也就是当且仅当 $f'(x)=A(1-2x)$。并且容易知道，$int_0^1 (1-2x)^2 mathrm{d}x=frac{1}{3}$, 这与结果中的 $frac{1}{12}$ 已经有那么一点接近了，这样一来，如果能凑出 $int_0^1 (1-2x) f'(x) mathrm{d}x$ 再利用 Cauchy-Schwarz 不等式，或许就能证出想要的结果。按照这样的思路，利用题中的已知条件来尝试凑出 $int_0^1 (1-2x) f'(x) mathrm{d}x$，果然完美地证出了想要的结果。

以上的就是整个证明过程的想法，也是苦苦思考几天的一点小小的灵感，故作此文，以记录那灵感闪现的瞬间 :)

2016.12.10

最后

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