一道积分不等式的证明

设 $f(x)$ 是闭区间 $[0,1]$ 上满足 $f(0)=f(1)=0$ 的连续可微函数，求证不等式

$$left(int_0^1 f(x)mathrm{d}x right)^2 leq frac{1}{12} int_0^1 |f'(x)|^2 mathrm{d}x,$$
并且等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x),$ 其中 $A$ 是常数。

证明 由 Newton-Leibniz 公式，

$$f(x)=int_0^x f'(t)mathrm{d}t,quad f(x)=int_1^x f'(t)mathrm{d}t.$$
由分部积分公式
$$begin{align} int_0^1 f(x)mathrm{d}x &=int_0^1 int_0^x f'(t)mathrm{d}t mathrm{d}x \ &=xint_0^x f'(t)mathrm{d}t Bigg |^1_0-int_0^1 xf'(x)mathrm{d}x \ &=int_0^1 (1-x)f'(x)mathrm{d}x.quad(1) end{align}$$
$$begin{align} int_0^1 f(x)mathrm{d}x &=int_0^1 int_1^x f'(t)mathrm{d}t mathrm{d}x \ &=xint_1^x f'(t)mathrm{d}t Bigg |^1_0-int_0^1 xf'(x)mathrm{d}x \ &=-int_0^1 xf'(x)mathrm{d}x.quad(2) end{align}$$
将 (1)(2) 两式相加可得
$$int_0^1 f(x)mathrm{d}x=frac{1}{2}int_0^1 (1-2x) f'(x)mathrm{d}x.$$
因此由 Cauchy-Schwarz 不等式可得
$$begin{align} left(int_0^1 f(x)mathrm{d}x right)^2 &=frac{1}{4} left(int_0^1 (1-2x)f'(x)mathrm{d}x right)^2 \ &leq frac{1}{4} int_0^1(1-2x)^2mathrm{d}x cdot int_0^1 |f'(x)|^2 mathrm{d}x \ &=frac{1}{12} int_0^1 |f'(x)|^2 mathrm{d}x. end{align}$$
由 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立条件可知，上式等号成立当且仅当 $f'(x)=A(1-2x)$, 即 $f(x)=Ax(1-x)+C,$ 又由于 $f(0)=0,$ 因此 $C=0,$ 故等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x),$ 其中 $A$ 是常数。$quad square$

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后记

这种和 $f(x),f'(x)$ 有关的积分不等式往往要利用 Newton-Leibniz 公式和积分形式的 Cauchy-Schwarz 不等式。

最开始遇到这道题的时候，没有找到合适的方法使最终结果出现 $frac{1}{12}$, 苦苦思索几天仍未有所收获，终于在今天晚上突然联想到 Cauchy-Schwarz 不等式的等号成立条件，要证的是等号成立当且仅当 $f(x)=Ax(1-x)$, 也就是当且仅当 $f'(x)=A(1-2x)$。并且容易知道，$int_0^1 (1-2x)^2 mathrm{d}x=frac{1}{3}$, 这与结果中的 $frac{1}{12}$ 已经有那么一点接近了，这样一来，如果能凑出 $int_0^1 (1-2x) f'(x) mathrm{d}x$ 再利用 Cauchy-Schwarz 不等式，或许就能证出想要的结果。按照这样的思路，利用题中的已知条件来尝试凑出 $int_0^1 (1-2x) f'(x) mathrm{d}x$，果然完美地证出了想要的结果。

以上的就是整个证明过程的想法，也是苦苦思考几天的一点小小的灵感，故作此文，以记录那灵感闪现的瞬间 :)

2016.12.10

最后

以上就是开朗宝贝为你收集整理的一道积分不等式的证明的全部内容，希望文章能够帮你解决一道积分不等式的证明所遇到的程序开发问题。

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