高等数学（第七版）同济大学 习题10-2（前10题） 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题10-2（前10题）

函数作图软件：Mathematica

 

$\begin{array}{rlr}& 1.计算下列二重积分:& \end{array}$

   ( 1 )    ∬ D ( x 2 + y 2 ) d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   ∣ x ∣ ≤ 1 ， ∣ y ∣ ≤ 1 } ；    ( 2 )    ∬ D ( 3 x + 2 y ) d σ ， 其 中 D 是 由 两 坐 标 轴 及 直 线 x + y = 2 所 围 成 的 闭 区 域 ；    ( 3 )    ∬ D ( x 3 + 3 x 2 y + y 3 ) d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 } ；    ( 4 )    ∬ D x c o s ( x + y ) d σ ， 其 中 D 是 顶 点 分 别 为 ( 0 ,   0 ) ， ( π ,   0 ) 和 ( π ,   π ) 的 三 角 形 闭 区 域 . begin{aligned} & (1) iint_D (x^2+y^2)dsigma，其中D={(x, y) | |x| le 1，|y| le 1}；\\ & (2) iint_D (3x+2y)dsigma，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；\\ & (3) iint_D (x^3+3x^2y+y^3)dsigma，其中D={(x, y) | 0 le x le 1，0 le y le 1}；\\ & (4) iint_D xcos(x+y)dsigma，其中D是顶点分别为(0, 0)，(pi, 0)和(pi, pi)的三角形闭区域. & end{aligned} ​  (1)  ∬D​(x2+y2)dσ，其中D={(x, y) ∣ ∣x∣≤1，∣y∣≤1}；  (2)  ∬D​(3x+2y)dσ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；  (3)  ∬D​(x3+3x2y+y3)dσ，其中D={(x, y) ∣ 0≤x≤1，0≤y≤1}；  (4)  ∬D​xcos(x+y)dσ，其中D是顶点分别为(0, 0)，(π, 0)和(π, π)的三角形闭区域.​​

解：

$\begin{array}{rlr}& (1){\iint }_D(x^2+y^2)d\sigma ={\int }_{-1}^{1}dx{\int }_{-1}^1(x^2+y^2)dy={\int }_{-1}^1{\left[x^{2}y+\frac{y^3}{3}\right]}_{-1}^{1}dx={\int }_{-1}^1\left(2x^2+\frac{2}{3}\right)dx=\frac{8}{3}.& \\ & & \\ & (2)D可用不等式表示为0\le y\le 2-x，0\le x\le 2，则{\iint }_D(3x+2y)d\sigma =& \\ & & \\ & {\int }_0^{2}dx{\int }_0^{2-x}(3x+2y)dy={\int }_0^2[3xy+y^2{]}_0^{2-x}dx={\int }_0^2(4+2x-2x^2)dx=\frac{20}{3}.& \\ & & \\ & (3){\iint }_D(x^3+3x^{2}y+y^3)d\sigma ={\int }_0^{1}dy{\int }_0^1(x^3+3x^{2}y+y^3)dx={\int }_0^1{\left[\frac{x^4}{4}+x^{3}y+y^{3}x\right]}_0^{1}dy={\int }_0^1\left(\frac{1}{4}+y+y^3\right)dy=1.& \\ & & \\ & (4)D可用不等式表示为0\le y\le x，0\le x\le \pi ，则{\iint }_{D}xcos(x+y)d\sigma ={\int }_0^{\pi }xdx{\int }_0^{x}cos(x+y)dy=& \\ & & \\ & {\int }_0^{\pi }x[sin(x+y){]}_0^{x}dx={\int }_0^{\pi }x(sin2x-sinx)dx={\int }_0^{\pi }xd\left(cosx-\frac{1}{2}cos2x)\right)=& \\ & & \\ & {\left[x\left(cosx-\frac{1}{2}cos2x\right)\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\left(cosx-\frac{1}{2}cos2x\right)dx=\pi \left(-1-\frac{1}{2}\right)-0=-\frac{3}{2}\pi .& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 2.画出积分区域，并计算下列二重积分:& \end{array}$

   ( 1 )    ∬ D x y d σ ， 其 中 D 是 由 两 条 抛 物 线 y = x ， y = x 2 所 围 成 的 闭 区 域 ；    ( 2 )    ∬ D x y 2 d σ ， 其 中 D 是 由 圆 周 x 2 + y 2 = 4 及 y 轴 所 围 成 的 右 半 闭 区 域 ；    ( 3 )    ∬ D e x + y d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≤ 1 } ；    ( 4 )    ∬ D ( x 2 + y 2 − x ) d σ ， 其 中 D 是 由 直 线 y = 2 ， y = x 及 y = 2 x 所 围 成 的 闭 区 域 . begin{aligned} & (1) iint_D xsqrt{y}dsigma，其中D是由两条抛物线y=sqrt{x}，y=x^2所围成的闭区域；\\ & (2) iint_D xy^2dsigma，其中D是由圆周x^2+y^2=4及y轴所围成的右半闭区域；\\ & (3) iint_D e^{x+y}dsigma，其中D={(x, y) | |x|+|y| le 1}；\\ & (4) iint_D (x^2+y^2-x)dsigma，其中D是由直线y=2，y=x及y=2x所围成的闭区域. & end{aligned} ​  (1)  ∬D​xy ​dσ，其中D是由两条抛物线y=x ​，y=x2所围成的闭区域；  (2)  ∬D​xy2dσ，其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域；  (3)  ∬D​ex+ydσ，其中D={(x, y) ∣ ∣x∣+∣y∣≤1}；  (4)  ∬D​(x2+y2−x)dσ，其中D是由直线y=2，y=x及y=2x所围成的闭区域.​​

解：

$\begin{array}{rl}& (1)D用不等式表示为x^2\le y\le \sqrt{x}，0\le x\le 1，则\\ & \\ & {\iint }_{D}x\sqrt{y}d\sigma ={\int }_0^{1}xdx{\int }_{x^2}^{\sqrt{x}}\sqrt{y}dy=\frac{2}{3}{\int }_0^{1}x{\left[y^{\frac{3}{2}}\right]}_{x^2}^{\sqrt{x}}dx=\frac{2}{3}{\int }_0^1(x^{\frac{7}{4}}-x^4)dx=\frac{6}{55}.\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& (2)D用不等式表示为0\le x\le \sqrt{4-y^2}，-2\le y\le 2，则\\ & \\ & {\iint }_{D}x{y}^{2}d\sigma ={\int }_{-2}^2{y}^{2}dy{\int }_0^{\sqrt{4-y^2}}xdx=\frac{1}{2}{\int }_{-2}^2{y}^2(4-y^2)dy=\frac{64}{15}.\\ & \\ & \end{array}$

   ( 3 )   D = D 1 ∪ D 2 ， 其 中 D 1 = { ( x ,   y )   ∣   − x − 1 ≤ y ≤ x + 1 ， − 1 ≤ x ≤ 0 } ，          D 2 = { ( x ,   y )   ∣   x − 1 ≤ y ≤ − x + 1 ， 0 ≤ x ≤ 1 } ， 则          ∬ D e x + y d σ = ∬ D 1 e x + y d σ + ∬ D 2 e x + y d σ = ∫ − 1 0 e x d x ∫ − x − 1 x + 1 e y d y + ∫ 0 1 e x d x ∫ x − 1 − x + 1 e y d y =           ∫ − 1 0 ( e 2 x + 1 − e − 1 ) d x + ∫ 0 1 ( e − e 2 x − 1 ) d x = e − e − 1 . begin{aligned} & (3) D=D_1 cup D_2，其中D_1={(x, y) | -x-1 le y le x+1，-1 le x le 0}，\\ & D_2={(x, y) | x-1 le y le -x+1，0 le x le 1}，则\\ & iint_De^{x+y}dsigma=iint_{D_1}e^{x+y}dsigma+iint_{D_2}e^{x+y}dsigma=int_{-1}^{0}e^xdxint_{-x-1}^{x+1}e^ydy+int_{0}^{1}e^xdxint_{x-1}^{-x+1}e^ydy=\\ & int_{-1}^{0}(e^{2x+1}-e^{-1})dx+int_{0}^{1}(e-e^{2x-1})dx=e-e^{-1}.\\ & end{aligned} ​  (3) D=D1​∪D2​，其中D1​={(x, y) ∣ −x−1≤y≤x+1，−1≤x≤0}，        D2​={(x, y) ∣ x−1≤y≤−x+1，0≤x≤1}，则        ∬D​ex+ydσ=∬D1​​ex+ydσ+∬D2​​ex+ydσ=∫−10​exdx∫−x−1x+1​eydy+∫01​exdx∫x−1−x+1​eydy=         ∫−10​(e2x+1−e−1)dx+∫01​(e−e2x−1)dx=e−e−1.​

$\begin{array}{rlr}& (4)D用不等式表示为\frac{y}{2}\le x\le y，0\le y\le 2，则& \\ & & \\ & {\iint }_D(x^2+y^2-x)d\sigma ={\int }_0^{2}dy{\int }_{\frac{y}{2}}^y(x^2+y^2-x)dx={\int }_0^2{\left[\frac{1}{3}{x}^3+x{y}^2-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{\frac{y}{2}}^{y}dy={\int }_0^2\left(\frac{19}{24}{y}^3-\frac{3}{8}{y}^2\right)dy=\frac{13}{6}.& \end{array}$

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3.   如 果 二 重 积 分 ∬ D f ( x ,   y ) d x d y 的 被 积 函 数 f ( x ,   y ) 是 两 个 函 数 f 1 ( x ) 及 f 2 ( y ) 的 乘 积 ， 即      f ( x ,   y ) = f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( y ) ， 积 分 区 域 D = { ( x ,   y )   ∣   a ≤ x ≤ b ， c ≤ y ≤ d } ， 证 明 这 个 二 重 积 分      等 于 两 个 单 积 分 的 乘 积 ， 即 ∬ D f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( y ) d x d y = [ ∫ a b f 1 ( x ) d x ] ⋅ [ ∫ c d f 2 ( y ) d y ] . begin{aligned}&3. 如果二重积分iint_{D}f(x, y)dxdy的被积函数f(x, y)是两个函数f_1(x)及f_2(y)的乘积，即\\& f(x, y)=f_1(x)cdot f_2(y)，积分区域D={(x, y) | ale x le b，c le y le d}，证明这个二重积分\\& 等于两个单积分的乘积，即iint_{D}f_1(x)cdot f_2(y)dxdy=left[int_{a}^{b}f_1(x)dxright]cdotleft[int_{c}^{d}f_2(y)dyright].&end{aligned} ​3. 如果二重积分∬D​f(x, y)dxdy的被积函数f(x, y)是两个函数f1​(x)及f2​(y)的乘积，即    f(x, y)=f1​(x)⋅f2​(y)，积分区域D={(x, y) ∣ a≤x≤b，c≤y≤d}，证明这个二重积分    等于两个单积分的乘积，即∬D​f1​(x)⋅f2​(y)dxdy=[∫ab​f1​(x)dx]⋅[∫cd​f2​(y)dy].​​

解：

$\begin{array}{rlr}& {\iint }_D{f}_1(x)\cdot f_2(y)dxdy={\int }_a^b\left[{\int }_c^d{f}_1(x)\cdot f_2(y)dy\right]dx，上式右端第一次单积分{\int }_c^d{f}_1(x)\cdot f_2(y)中，f_1(x)与& \\ & & \\ & 积分变量y无关，可作为常数提到积分外，因此变为{\int }_a^b{f}_1(x)\cdot \left[{\int }_c^d{f}_2(y)dy\right]dx，在该积分中，因为& \\ & & \\ & {\int }_c^d{f}_2(y)dy为常数，所以也可提到积分外，得& \\ & & \\ & {\iint }_D{f}_1(x)\cdot f_2(y)dxdy=\left[{\int }_c^d{f}_2(y)dy\right]\cdot \left[{\int }_a^b{f}_1(x)dx\right]=\left[{\int }_a^b{f}_1(x)dx\right]\cdot \left[{\int }_c^d{f}_2(y)dy\right]& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 4.化二重积分I={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），& \\ & & \\ & 其中积分区域D是:& \end{array}$

   ( 1 )    由 直 线 y = x 及 抛 物 线 y 2 = 4 x 所 围 成 的 闭 区 域 ；    ( 2 )    由 x 轴 及 半 圆 周 x 2 + y 2 = r 2 ( y ≥ 0 ) 所 围 成 的 闭 区 域 ；    ( 3 )    由 直 线 y = x ， x = 2 及 双 曲 线 y = 1 x ( x > 0 ) 所 围 成 的 闭 区 域 ；    ( 4 )    环 形 闭 区 域 { ( x ,   y )   ∣   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 } . begin{aligned} & (1) 由直线y=x及抛物线y^2=4x所围成的闭区域；\\ & (2) 由x轴及半圆周x^2+y^2=r^2(y ge 0)所围成的闭区域；\\ & (3) 由直线y=x，x=2及双曲线y=frac{1}{x}(x gt 0)所围成的闭区域；\\ & (4) 环形闭区域{(x, y) | 1 le x^2+y^2 le 4}. & end{aligned} ​  (1)  由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；  (2)  由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0)所围成的闭区域；  (3)  由直线y=x，x=2及双曲线y=x1​(x>0)所围成的闭区域；  (4)  环形闭区域{(x, y) ∣ 1≤x2+y2≤4}.​​

解：

$\begin{array}{rl}& (1)直线y=x及抛物线y^2=4x的交点为(0,0)和(4,4)，则I={\int }_0^{4}dx{\int }_x^{\sqrt{4x}}f(x,y)dy，或I={\int }_0^{4}dx{\int }_{\frac{y^2}{4}}^{y}f(x,y)dy.\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rl}& (2)D用不等式表示为0\le y\le \sqrt{r^2-x^2}，-r\le x\le r，则将I化为先对y后对x的二次积分，\\ & \\ & I={\int }_{-r}^{r}dx{\int }_0^{\sqrt{r^2-x^2}}f(x,y)dy，\\ & \\ & D用不等式表示为-\sqrt{r^2-y^2}\le x\le \sqrt{r^2-y^2}，0\le y\le r，则将I化为先对x后对y的二次积分，\\ & \\ & I={\int }_0^{r}dy{\int }_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}}f(x,y)dx.\\ & \\ & (3)三条曲线两两相交，得3个交点(1,1)，\left(2,\frac{1}{2}\right)和(2,2)，则I={\int }_1^{2}dx{\int }_{\frac{1}{x}}^{x}f(x,y)dy，\\ & \\ & 或I={\int }_{\frac{1}{2}}^{1}dy{\int }_{\frac{1}{y}}^{2}f(x,y)dx+{\int }_1^{2}dy{\int }_y^{2}f(x,y)dx.\\ & \\ & \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (4)将积分区域D按图1分4部分，得I=& \\ & & \\ & {\int }_{-2}^{-1}dx{\int }_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}f(x,y)dy+{\int }_{-1}^{1}dx{\int }_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}f(x,y)dy+{\int }_{-1}^{1}dx{\int }_{-\sqrt{4-x^2}}^{-\sqrt{1-x^2}}f(x,y)dy+{\int }_1^{2}dx{\int }_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}f(x,y)dy，& \\ & & \\ & 将积分区域D按图2分4部分，得I=& \\ & & \\ & {\int }_{-2}^{1}dy{\int }_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dx+{\int }_{-1}^{1}dy{\int }_{-\sqrt{4-y^2}}^{-\sqrt{1-y^2}}f(x,y)dx+{\int }_{-1}^{1}dy{\int }_{\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dx+{\int }_1^{2}dy{\int }_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)dx.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.设f(x,y)在D上连续，其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)所围成的闭区域，证明& \\ & & \\ & {\int }_a^{b}dx{\int }_a^{x}f(x,y)dy={\int }_a^{b}dy{\int }_y^{b}f(x,y)dx.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 等式两端的二次积分都等于二重积分{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ，因此两端相等.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.改换下列二次积分的积分次序:& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1){\int }_0^{1}dy{\int }_0^{y}f(x,y)dx；(2){\int }_0^{2}dy{\int }_{y^2}^{2y}f(x,y)dx；& \\ & & \\ & (3){\int }_0^{1}dy{\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)dx；(4){\int }_1^2{\int }_{2-x}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dy；& \\ & & \\ & (5){\int }_1^{e}dx{\int }_0^{lnx}f(x,y)dy；(6){\int }_0^{\pi }dx{\int }_{-sin\frac{x}{2}}^{sinx}f(x,y)dy.& \end{array}$

解：

   ( 1 )   二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 ∬ D f ( x ,   y ) d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   0 ≤ x ≤ y ， 0 ≤ y ≤ 1 } ，          D 又 可 表 示 为 { ( x ,   y )   ∣   x ≤ y ≤ 1 ， 0 ≤ x ≤ 1 } ， 则 ∫ 0 1 d y ∫ 0 y f ( x ,   y ) d x = ∫ 0 1 d x ∫ x 1 f ( x ,   y ) d y . begin{aligned} & (1) 二次积分等于二重积分iint_{D}f(x, y)dsigma，其中D={(x, y) | 0 le x le y，0 le y le 1}，\\ & D又可表示为{(x, y) | x le y le 1，0 le x le 1}，则int_{0}^{1}dyint_{0}^{y}f(x, y)dx=int_{0}^{1}dxint_{x}^{1}f(x, y)dy.\\ & end{aligned} ​  (1) 二次积分等于二重积分∬D​f(x, y)dσ，其中D={(x, y) ∣ 0≤x≤y，0≤y≤1}，        D又可表示为{(x, y) ∣ x≤y≤1，0≤x≤1}，则∫01​dy∫0y​f(x, y)dx=∫01​dx∫x1​f(x, y)dy.​

   ( 2 )   二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 ∬ D f ( x ,   y ) d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   y 2 ≤ x ≤ 2 y ， 0 ≤ y ≤ 2 } ，          D 又 可 表 示 为 { ( x ,   y )   ∣   x 2 ≤ y ≤ x ， 0 ≤ x ≤ 4 } ， 则 ∫ 0 2 d y ∫ y 2 2 y f ( x ,   y ) d x = ∫ 0 4 d x ∫ x 2 x f ( x ,   y ) d y . begin{aligned} & (2) 二次积分等于二重积分iint_{D}f(x, y)dsigma，其中D={(x, y) | y^2 le x le 2y，0 le y le 2}，\\ & D又可表示为{(x, y) | frac{x}{2} le y le sqrt{x}，0 le x le 4}，则int_{0}^{2}dyint_{y^2}^{2y}f(x, y)dx=int_{0}^{4}dxint_{frac{x}{2}}^{sqrt{x}}f(x, y)dy.\\ & end{aligned} ​  (2) 二次积分等于二重积分∬D​f(x, y)dσ，其中D={(x, y) ∣ y2≤x≤2y，0≤y≤2}，        D又可表示为{(x, y) ∣ 2x​≤y≤x ​，0≤x≤4}，则∫02​dy∫y22y​f(x, y)dx=∫04​dx∫2x​x ​​f(x, y)dy.​

   ( 3 )   二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 ∬ D f ( x ,   y ) d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   − 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y 2 ， 0 ≤ y ≤ 1 } ，          D 又 可 表 示 为 { ( x ,   y )   ∣   0 ≤ y ≤ 1 − x 2 ， − 1 ≤ x ≤ 1 } ，          则 ∫ 0 1 d y ∫ − 1 − y 2 1 − y 2 f ( x ,   y ) d x = ∫ − 1 1 d x ∫ 0 1 − x 2 f ( x ,   y ) d y . begin{aligned} & (3) 二次积分等于二重积分iint_{D}f(x, y)dsigma，其中D={(x, y) | -sqrt{1-y^2} le x le sqrt{1-y^2}，0 le y le 1}，\\ & D又可表示为{(x, y) | 0 le y le sqrt{1-x^2}，-1 le x le 1}，\\ & 则int_{0}^{1}dyint_{-sqrt{1-y^2}}^{sqrt{1-y^2}}f(x, y)dx=int_{-1}^{1}dxint_{0}^{sqrt{1-x^2}}f(x, y)dy.\\ & end{aligned} ​  (3) 二次积分等于二重积分∬D​f(x, y)dσ，其中D={(x, y) ∣ −1−y2 ​≤x≤1−y2 ​，0≤y≤1}，        D又可表示为{(x, y) ∣ 0≤y≤1−x2 ​，−1≤x≤1}，        则∫01​dy∫−1−y2 ​1−y2 ​​f(x, y)dx=∫−11​dx∫01−x2 ​​f(x, y)dy.​

   ( 4 )   二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 ∬ D f ( x ,   y ) d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   2 − x ≤ y ≤ 2 x − x 2 ， 1 ≤ x ≤ 2 } ，          D 又 可 表 示 为 { ( x ,   y )   ∣   2 − y ≤ x ≤ 1 + 1 − y 2 ， 0 ≤ y ≤ 1 } ，          则 ∫ 1 2 ∫ 2 − x 2 x − x 2 f ( x ,   y ) d y = ∫ 0 1 d y ∫ 2 − y 1 + 1 − y 2 f ( x ,   y ) d x . begin{aligned} & (4) 二次积分等于二重积分iint_{D}f(x, y)dsigma，其中D={(x, y) | 2-x le y le sqrt{2x-x^2}，1 le x le 2}，\\ & D又可表示为{(x, y) | 2-y le x le 1+sqrt{1-y^2}，0 le y le 1}，\\ & 则int_{1}^{2}int_{2-x}^{sqrt{2x-x^2}}f(x, y)dy=int_{0}^{1}dyint_{2-y}^{1+sqrt{1-y^2}}f(x, y)dx.\\ & end{aligned} ​  (4) 二次积分等于二重积分∬D​f(x, y)dσ，其中D={(x, y) ∣ 2−x≤y≤2x−x2 ​，1≤x≤2}，        D又可表示为{(x, y) ∣ 2−y≤x≤1+1−y2 ​，0≤y≤1}，        则∫12​∫2−x2x−x2 ​​f(x, y)dy=∫01​dy∫2−y1+1−y2 ​​f(x, y)dx.​

   ( 5 )   二 次 积 分 等 于 二 重 积 分 ∬ D f ( x ,   y ) d σ ， 其 中 D = { ( x ,   y )   ∣   0 ≤ y ≤ l n   x ， 1 ≤ x ≤ e } ，          D 又 可 表 示 为 { ( x ,   y )   ∣   e y ≤ x ≤ e ， 0 ≤ y ≤ 1 } ，          则 ∫ 1 e d x ∫ 0 l n   x f ( x ,   y ) d y = ∫ 0 1 d y ∫ e y e f ( x ,   y ) d x . begin{aligned} & (5) 二次积分等于二重积分iint_{D}f(x, y)dsigma，其中D={(x, y) | 0 le y le ln x，1 le x le e}，\\ & D又可表示为{(x, y) | e^y le x le e，0 le y le 1}，\\ & 则int_{1}^{e}dxint_{0}^{ln x}f(x, y)dy=int_{0}^{1}dyint_{e^y}^{e}f(x, y)dx.\\ & end{aligned} ​  (5) 二次积分等于二重积分∬D​f(x, y)dσ，其中D={(x, y) ∣ 0≤y≤ln x，1≤x≤e}，        D又可表示为{(x, y) ∣ ey≤x≤e，0≤y≤1}，        则∫1e​dx∫0ln x​f(x, y)dy=∫01​dy∫eye​f(x, y)dx.​

   ( 6 )   将 积 分 区 域 D 表 示 为 D 1 ∪ D 2 ， 其 中 D 1 = { ( x ,   y )   ∣   a r c s i n   y ≤ x ≤ π − a r c s i n   y ， 0 ≤ y ≤ 1 } ，          D 2 = { ( x ,   y )   ∣   − 2 a r c s i n   y ≤ x ≤ π ， − 1 ≤ y ≤ 0 } ，          则 ∫ 0 π d x ∫ − s i n   x 2 s i n   x f ( x ,   y ) d y = ∫ 0 1 d y ∫ a r c s i n   y π − a r c s i n   y f ( x ,   y ) d x + ∫ − 1 0 d y ∫ − 2 a r c s i n   y π f ( x ,   y ) d x . begin{aligned} & (6) 将积分区域D表示为D_1 cup D_2，其中D_1={(x, y) | arcsin y le x le pi-arcsin y，0 le y le 1}，\\ & D_2={(x, y) | -2arcsin y le x le pi，-1 le y le 0}，\\ & 则int_{0}^{pi}dxint_{-sin frac{x}{2}}^{sin x}f(x, y)dy=int_{0}^{1}dyint_{arcsin y}^{pi-arcsin y}f(x, y)dx+int_{-1}^{0}dyint_{-2arcsin y}^{pi}f(x, y)dx. & end{aligned} ​  (6) 将积分区域D表示为D1​∪D2​，其中D1​={(x, y) ∣ arcsin y≤x≤π−arcsin y，0≤y≤1}，        D2​={(x, y) ∣ −2arcsin y≤x≤π，−1≤y≤0}，        则∫0π​dx∫−sin 2x​sin x​f(x, y)dy=∫01​dy∫arcsin yπ−arcsin y​f(x, y)dx+∫−10​dy∫−2arcsin yπ​f(x, y)dx.​​

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$\begin{array}{rlr}& 7.设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2，y=x和x轴所围成，它的面密度\mu (x,y)=x^2+y^2，& \\ & & \\ & 求该薄片的质量.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 积分区域D如图所示，设该薄片质量为M，& \\ & & \\ & M={\iint }_D\mu (x,y)d\sigma ={\int }_0^{1}dy{\int }_y^{2-y}(x^2+y^2)dx={\int }_0^1{\left[\frac{1}{3}{x}^3+x{y}^2\right]}_y^{2-y}dy={\int }_0^1\left[\frac{1}{3}(2-y{)}^3+2y^2-\frac{7}{3}{y}^3\right]dy=& \\ & & \\ & {\left[-\frac{1}{12}(2-y{)}^4+\frac{2}{3}{y}^3-\frac{7}{12}{y}^4\right]}_0^1=\frac{4}{3}.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 8.计算由四个平面x=0，y=0，x=1，y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的& \\ & & \\ & 立体的体积.& \end{array}$

解：

   此 立 体 为 一 曲 顶 柱 体 ， 底 为 x O y 面 上 的 闭 区 域 D = { ( x ,   y )   ∣   0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 } ， 顶 为 曲 面 z = 6 − 2 x − 3 y ，    所 求 立 体 体 积 为 V = ∬ D ( 6 − 2 x − 3 y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 ( 6 − 2 x − 3 y ) d y = ∫ 0 1 ( 9 2 − 2 x ) d x = 7 2 . begin{aligned} & 此立体为一曲顶柱体，底为xOy面上的闭区域D={(x, y) | 0 le x le 1，0 le y le 1}，顶为曲面z=6-2x-3y，\\ & 所求立体体积为V=iint_{D}(6-2x-3y)dxdy=int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}(6-2x-3y)dy=int_{0}^{1}left(frac{9}{2}-2xright)dx=frac{7}{2}. & end{aligned} ​  此立体为一曲顶柱体，底为xOy面上的闭区域D={(x, y) ∣ 0≤x≤1，0≤y≤1}，顶为曲面z=6−2x−3y，  所求立体体积为V=∬D​(6−2x−3y)dxdy=∫01​dx∫01​(6−2x−3y)dy=∫01​(29​−2x)dx=27​.​​

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$\begin{array}{rlr}& 9.求由平面x=0，y=0，x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x^2+y^2=6-z截得的立体的体积.& \end{array}$

解：

   此 立 体 为 曲 顶 柱 体 ， 底 为 x O y 面 上 的 闭 区 域 D = { ( x ,   y )   ∣   0 ≤ y ≤ 1 − x ， 0 ≤ x ≤ 1 } ， 顶 为 曲 面 z = 6 − ( x 2 + y 2 ) ，    体 积 为 V = ∬ D [ 6 − ( x 2 + y 2 ) ] d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x ( 6 − x 2 − y 2 ) d y = ∫ 0 1 [ 6 ( 1 − x ) − x 2 + x 3 − 1 3 ( 1 − x ) 3 ] d x = 17 6 . begin{aligned} & 此立体为曲顶柱体，底为xOy面上的闭区域D={(x, y) | 0 le y le 1-x，0 le x le 1}，顶为曲面z=6-(x^2+y^2)，\\ & 体积为V=iint_{D}[6-(x^2+y^2)]dxdy=int_{0}^{1}dxint_{0}^{1-x}(6-x^2-y^2)dy=int_{0}^{1}left[6(1-x)-x^2+x^3-frac{1}{3}(1-x)^3right]dx=frac{17}{6}. & end{aligned} ​  此立体为曲顶柱体，底为xOy面上的闭区域D={(x, y) ∣ 0≤y≤1−x，0≤x≤1}，顶为曲面z=6−(x2+y2)，  体积为V=∬D​[6−(x2+y2)]dxdy=∫01​dx∫01−x​(6−x2−y2)dy=∫01​[6(1−x)−x2+x3−31​(1−x)3]dx=617​.​​

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$\begin{array}{rlr}& 10.求由曲面z=x^2+2y^2及z=6-2x^2-y^2所围成的立体的体积.& \end{array}$

解：

   联 立 方 程 组 { z = x 2 + 2 y 2 ， z = 6 − 2 x 2 − y 2 得 x 2 + y 2 = 2 ， 所 求 立 体 在 x O y 面 上 的 投 影 区 域 为 D = { ( x ,   y )   ∣   x 2 + y 2 ≤ 2 } ，    所 求 立 体 的 体 积 等 于 两 个 曲 顶 柱 体 体 积 的 差 ， V = ∬ D ( 6 − 2 x 2 − y 2 ) d σ − ∬ D ( x 2 + 2 y 2 ) d σ =    ∬ D ( 6 − 3 x 2 − 3 y 2 ) d σ = ∬ D ( 6 − 3 ρ 2 ) ρ d ρ d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 ( 6 − 3 ρ 2 ) ρ d ρ = 6 π . begin{aligned} & 联立方程组begin{cases}z=x^2+2y^2，\\z=6-2x^2-y^2end{cases}得x^2+y^2=2，所求立体在xOy面上的投影区域为D={(x, y) | x^2+y^2 le 2}，\\ & 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差，V=iint_{D}(6-2x^2-y^2)dsigma-iint_{D}(x^2+2y^2)dsigma=\\ & iint_{D}(6-3x^2-3y^2)dsigma=iint_{D}(6-3rho^2)rho drho dtheta=int_{0}^{2pi}dtheta int_{0}^{sqrt{2}}(6-3rho^2)rho drho=6pi. & end{aligned} ​  联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧​z=x2+2y2，z=6−2x2−y2​得x2+y2=2，所求立体在xOy面上的投影区域为D={(x, y) ∣ x2+y2≤2}，  所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差，V=∬D​(6−2x2−y2)dσ−∬D​(x2+2y2)dσ=  ∬D​(6−3x2−3y2)dσ=∬D​(6−3ρ2)ρdρdθ=∫02π​dθ∫02 ​​(6−3ρ2)ρdρ=6π.​​

最后

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