关于Bessel不等式和Parseval等式的几点注解

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我是靠谱客的博主细腻树叶，这篇文章主要介绍关于Bessel不等式和Parseval等式的几点注解，现在分享给大家，希望可以做个参考。

1. $Bessel$ 不等式：设 $X$ 为内积空间， $M=left {e_{n}:ngeqslant 1 right }$ 为标准正交集， $Bessel$ 不等式如下：

$sum_{i=1}^{infty} left |<x,e_{i}> right |^{2} leqslant left | x right |^{2}$

证明较简单，首先令：

$y=sum_{i=1}^{n} <x,e_{i}> e_{i}$

$forall xin X$ ，则有（证明过程略）：

$<y,x-y>= ... =0Rightarrow left | x right |^{2}=left | y right |^{2}+left | x-y right |^{2}$

因此有： $left | y right |^{2} leq left | x right |^{2}$ ，即

$sum_{i=1}^{n} left |<x,e_{i}> right |^{2} leqslant left | x right |^{2}$

利用单调有界数列必有极限，得到：

$sum_{i=1}^{infty} left |<x,e_{i}> right |^{2} leqslant left | x right |^{2}$

注意： $sum_{i=1}^{infty} left |<x,e_{i}> right |^{2}$ 收敛性比 $sum_{i=1}^{infty} <x,e_{i}> e_{i}$ 更强一点。可以证明，在 $Hilbert$ 空间下二者收敛性相同，更一般地，有：

$sum_{igeq 1} <a_{i},e_{i}>$ 与 $sum_{igeq 1} left | a_{i} right |^{2}$ 收敛性相同。

2. 下面考虑一种特殊的内积空间，即 $Hilbert$ 空间：

$sum_{i=1}^{infty} <x,e_{i}> e_{i}$

$sum_{i=1}^{infty} left |<x,e_{i}> right |^{2} = left | x right |^{2}$

3. 综上：Parseval等式是Bessel不等式在内积空间完备+标准完全正交集下的特例。

4.在傅里叶分析中的应用。

持续更新中。。。

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