内积
定义
∀x,y∈Rn,⟨x,y⟩=∑ni=1xiyi ∀ x , y ∈ R n , ⟨ x , y ⟩ = ∑ i = 1 n x i y i
性质
∀x,y∈Rn,λ,μ∈R,
∀
x
,
y
∈
R
n
,
λ
,
μ
∈
R
,
1. 正定性
⟨x,x⟩≥0,⟨x,x⟩=0⇔x=0⃗
⟨
x
,
x
⟩
≥
0
,
⟨
x
,
x
⟩
=
0
⇔
x
=
0
→
2. 对称性
⟨x,y⟩=⟨y,x⟩
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
y
,
x
⟩
3. 线性性
⟨λx+μy,z⟩=λ⟨x,z⟩+μ⟨y,z⟩
⟨
λ
x
+
μ
y
,
z
⟩
=
λ
⟨
x
,
z
⟩
+
μ
⟨
y
,
z
⟩
4. Schwarz不等式
⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩
⟨
x
,
y
⟩
2
≤
⟨
x
,
x
⟩
⟨
y
,
y
⟩
Schwarz不等式
⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩ ⟨ x , y ⟩ 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩
证明：
(1)
x=0⃗
x
=
0
→
时， 不等式显然成立。
(2)
x≠0⃗
x
≠
0
→
时：
∀λ∈R,⟨λx+y,λx+y⟩=λ2⟨x,x⟩+2λ⟨x,y⟩+⟨y,y⟩≥0
∀
λ
∈
R
,
⟨
λ
x
+
y
,
λ
x
+
y
⟩
=
λ
2
⟨
x
,
x
⟩
+
2
λ
⟨
x
,
y
⟩
+
⟨
y
,
y
⟩
≥
0
⇒4⟨x,y⟩2−4⟨x,x⟩⟨y,y⟩≤0
⇒
4
⟨
x
,
y
⟩
2
−
4
⟨
x
,
x
⟩
⟨
y
,
y
⟩
≤
0
⇒⟨x,y⟩2≤⟨x,x⟩⟨y,y⟩
⇒
⟨
x
,
y
⟩
2
≤
⟨
x
,
x
⟩
⟨
y
,
y
⟩
等式成立
⇔⟨λx+y,λx+y⟩=0
⇔
⟨
λ
x
+
y
,
λ
x
+
y
⟩
=
0
有解
⇔λx+y=0⃗
⇔
λ
x
+
y
=
0
→
有解
⇔y
⇔
y
可由
x
x
线性表示。
由(1), (2) 得， 等式成立 ⇔x ⇔ x 与 y y 线性相关。
距离
定义
∀x,y∈Rn,|x−y|=⟨x−y,x−y⟩−−−−−−−−−−−√
∀
x
,
y
∈
R
n
,
|
x
−
y
|
=
⟨
x
−
y
,
x
−
y
⟩
||x||=⟨x,x⟩−−−−−√
|
|
x
|
|
=
⟨
x
,
x
⟩
性质
∀x,y,z∈Rn,
∀
x
,
y
,
z
∈
R
n
,
1. 正定性
|x−y|≥0,|x−y|=0⇔x=y
|
x
−
y
|
≥
0
,
|
x
−
y
|
=
0
⇔
x
=
y
2. 对称性
|x−y|=|y−x|
|
x
−
y
|
=
|
y
−
x
|
3. 三角不等式
|x−z|≤|x−y|+|y−z|
|
x
−
z
|
≤
|
x
−
y
|
+
|
y
−
z
|
三角不等式
∀x,y,z∈Rn,|x−z|≤|x−y|+|y−z| ∀ x , y , z ∈ R n , | x − z | ≤ | x − y | + | y − z |
证明：
令
a=x−y,b=y−z,
a
=
x
−
y
,
b
=
y
−
z
,
则不等式
⇔|a+b|≤||a||+|b||
⇔
|
a
+
b
|
≤
|
|
a
|
|
+
|
b
|
|
⇔⟨a+b,a+b⟩−−−−−−−−−−−√≤⟨a,a⟩−−−−−√+⟨b,b⟩−−−−−√
⇔
⟨
a
+
b
,
a
+
b
⟩
≤
⟨
a
,
a
⟩
+
⟨
b
,
b
⟩
⟨a,a⟩+2⟨a,b⟩+⟨b,b⟩≤⟨a,a⟩+2⟨a,a⟩⟨b,b⟩−−−−−−−−−√+⟨b,b⟩
⟨
a
,
a
⟩
+
2
⟨
a
,
b
⟩
+
⟨
b
,
b
⟩
≤
⟨
a
,
a
⟩
+
2
⟨
a
,
a
⟩
⟨
b
,
b
⟩
+
⟨
b
,
b
⟩
⇔⟨a,b⟩≤⟨a,a⟩⟨b,b⟩−−−−−−−−−√
⇔
⟨
a
,
b
⟩
≤
⟨
a
,
a
⟩
⟨
b
,
b
⟩
等号成立
⇔x−y
⇔
x
−
y
与
y−z
y
−
z
线性相关
推论
推论一
∀x,y,z∈Rn,||x−z|−|y−z||≤|x−y| ∀ x , y , z ∈ R n , | | x − z | − | y − z | | ≤ | x − y |
证明：
−|x−y|≤|x−z|−|y−z|≤|x−y| − | x − y | ≤ | x − z | − | y − z | ≤ | x − y |
推论二
∀x,y,z∈R,∣∣x21+x22−−−−−−√−y21+y22−−−−−−√∣∣≤(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤|x1−y1|+|x2−y2| ∀ x , y , z ∈ R , | x 1 2 + x 2 2 − y 1 2 + y 2 2 | ≤ ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 ≤ | x 1 − y 1 | + | x 2 − y 2 |
证明：
令
x=(x1x2),y=(y1y2),z=(00),
x
=
(
x
1
x
2
)
,
y
=
(
y
1
y
2
)
,
z
=
(
0
0
)
,
则
x−y=(x1−y1x2−y2),
x
−
y
=
(
x
1
−
y
1
x
2
−
y
2
)
,
由推论1可得
∣∣x21+x22−−−−−−√−y21+y22−−−−−−√∣∣≤(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
|
x
1
2
+
x
2
2
−
y
1
2
+
y
2
2
|
≤
(
x
1
−
y
1
)
2
+
(
x
2
−
y
2
)
2
令
x=(0x2−y2),y=(−(x1−y1)x2−y2),z=(−(x1−y1)0),
x
=
(
0
x
2
−
y
2
)
,
y
=
(
−
(
x
1
−
y
1
)
x
2
−
y
2
)
,
z
=
(
−
(
x
1
−
y
1
)
0
)
,
则
x−y=(x1−y10),y−z=(0x2−y2),x−z=(x1−y1x2−y2),
x
−
y
=
(
x
1
−
y
1
0
)
,
y
−
z
=
(
0
x
2
−
y
2
)
,
x
−
z
=
(
x
1
−
y
1
x
2
−
y
2
)
,
由三角不等式可得：
(x1−y1)2+(x2−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤|x1−y1|+|x2−y2|
(
x
1
−
y
1
)
2
+
(
x
2
−
y
2
)
2
≤
|
x
1
−
y
1
|
+
|
x
2
−
y
2
|
最后
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