无限维乘积空间（彼此独立）的测度（完）

符号

设 T = { t : t ∈ T } T={t: t in T} T={t:t∈T} 为任意指标集, { ( Ω t , F t ) : t ∈ T } left{left(Omega_{t}, mathscr{F}_{t}right): t in Tright} {(Ωt​,Ft​):t∈T} 为一族可测空间，
$$\Omega =\prod _{t\in T}{\Omega }_t,\mathcal{F}=\prod _{t\in T}{\mathcal{F}}_t$$
又 $T_1\subset T$ 为 $T$ 的任一子集, 记
$${\Omega }_{T_1}=\prod _{t\in T_1}{\Omega }_t,{\mathcal{F}}_{T_1}=\prod _{t\in T_1}{\mathcal{F}}_t$$
也可记$\Omega ={\Omega }_T,\mathcal{F}={\mathcal{F}}_T.$

对 $A\in {\mathcal{F}}_{T_1}$
B 1 = { ( ω t , t ∈ T ) ∈ Ω T : ( ω α , α ∈ T 1 ) ∈ A } B_{1}=left{left(omega_{t}, t in Tright) in Omega_{T}:left(omega_{alpha}, alpha in T_{1}right) in Aright} B1​={(ωt​,t∈T)∈ΩT​:(ωα​,α∈T1​)∈A}
称 $B_1$ 为 $\Omega$ 中以 $A$ 为基底的柱集.

对 $T_1\subset T_2\subset T,$
B 2 = { ( ω t , t ∈ T 2 ) ∈ Ω T 2 : ( ω α , α ∈ T 1 ) ∈ A } B_{2}=left{left(omega_{t}, t in T_{2}right) in Omega_{T_{2}}:left(omega_{alpha}, alpha in T_{1}right) in Aright} B2​={(ωt​,t∈T2​)∈ΩT2​​:(ωα​,α∈T1​)∈A}

称 $B_2$ 为 ${\Omega }_{T_2}$ 中以 $A$ 为基底的柱集。

以 ${\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}$ 和 ${\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}^{T_2}$ 分别表示${\mathcal{F}}_{T_1}$中所有基底在$\Omega$和 ${\Omega }_{T_2}$ 中的柱集全体.

设 $\mathcal{C}$ 表示 $\Omega$ 中基底为有限维可测矩形的柱集全体,
$$\mathcal{A}=\bigcup _{T_1\subset T}{\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}$$
表示 $\Omega$ 中有限维可测基底的柱集全体, 则由1.3的结果可知, $\mathcal{C}\subset \mathcal{A},$ 且 $\mathcal{A}$ 为域, $\sigma (\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{A})=\mathcal{F}$

若 $T_1\subset T_2\subset T,$ 规定 ${\Omega }_{T_2}$ 到 ${\Omega }_{T_1}$ 的映照 ${\pi }_{T_1}^{T_2}$ 如下:
π T 1 T 2 { ω t : t ∈ T 2 } = { ω t : t ∈ T 1 } pi_{T_{1}}^{T_{2}}left{omega_{t}: t in T_{2}right}=left{omega_{t}: t in T_{1}right} πT1​T2​​{ωt​:t∈T2​}={ωt​:t∈T1​}
则 ${\pi }_{T_1}^{T_2}$ 是 ${\Omega }_{T_2}$ 到 ${\Omega }_{T_1}$ 的投影.

对 $A\in {\mathcal{F}}_{T_1},$ 由于
$${\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}A=A\times {\Omega }_{T_2{T}_1}$$
因此 ${\pi }_{T_1}^{T_2}$ 是 $\left({\Omega }_{T_2},{\mathcal{F}}_{T_2}\right)$ 到 $\left({\Omega }_{T_1},{\mathcal{F}}_{T_1}\right)$ 的可测映照, 且
$${\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}{\mathcal{F}}_{T_1}={\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}^{T_2}$$
（证明：把${\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}^{T_2}$的元素写出来就可以了）

若 $P_{T_2}$ 为 $\left({\Omega }_{T_2},{\mathcal{F}}_{T_2}\right)$ 上的概率, 则 $P_{T_2}{\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}$ 为 $\left({\Omega }_{T_1},{\mathcal{F}}_{T_1}\right)$ 上的概率.
（证明：$P_{T_2}{\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}({\Omega }_{T_1})=P_{T_2}{\Omega }_{T_2}=1$）

反之，对 $B\in {\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}^{T_2}$ 必存在完全确定的 $A={\pi }_{T_1}^{T_2}(B)\in {\mathcal{F}}_{T_1},$ 使 $B={\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}A.$ 所以,
对 $\left({\Omega }_{T_1},{\mathcal{F}}_{T_1}\right)$ 上的概率 $P_{T_1},$ 由
$$Q(B)=Q\left({\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}(A)\right)=P(A)$$
亦可完全确定地在 $\left({\Omega }_{T_2},{\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}^{T_2}\right)$ 上规定一个概率 $Q.$ 特别地, 由 $P_{T_1}$ 可在 $\left(\Omega ,{\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}\right)$
上规定一个概率.

命题 2.5.3

设对 $T$ 的有限子集 T 1 = { t 1 , ⋯   , t n } ⊂ T , T_{1}=left{t_{1}, cdots, t_{n}right} subset T, T1​={t1​,⋯,tn​}⊂T, 以 $P_{T_1}$ 表示 $\left({\Omega }_{T_1},{\mathcal{F}}_{T_1}\right)$
上的概率测度, 则:

对测度族 { P T 1 , left{P_{T_{1}},right. {PT1​​, 有限 $T_1\subset T\},$ 在 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 上存在非负有限可加集函数 $P,$ 对每个有限 $T_1\subset T$满足
$$P{\left({\pi }_{T_1}^T\right)}^{-1}=P_{T_1}$$
的充要条件是

{ P T 1 , T 1 ⊂ T } left{P_{T_{1}}, T_{1} subset Tright} {PT1​​,T1​⊂T} 满足下列相容性条件:对 $T$ 任意有限子集 $T_1,T_2$, $T_1\subset T_2,$ 有
$$P_{T_2}{\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}=P_{T_1}$$

证明： $\Rightarrow$ 由于 ${\pi }_{T_1}^{T_2}\circ {\pi }_{T_2}^T,$ 故对 $A\in {\mathcal{F}}_{T_1},$
$${\left({\pi }_{T_1}^T\right)}^{-1}A={\left({\pi }_{T_2}^T\right)}^{-1}{\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}A$$
因此, 若存在 $P$ 满足相容性, 必有$$P_{T_1}(A)=P\left({\left({\pi }_{T_1}^T\right)}^{-1}A\right)=P\left({\left({\pi }_{T_2}^T\right)}^{-1}{\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}A\right)=P_{T_2}\left({\left({\pi }_{T_1}^{T_2}\right)}^{-1}A\right)$$
所以$\Rightarrow$方向成立。

$\Leftarrow$首先找到测度$P$。考虑$B\in \mathcal{A}$：
$$B=A_1\times {\Omega }_{T-T_1}=A_2\times {\Omega }_{T-T_2},A_1\in {\mathcal{F}}_{T_1},A_2\in {\mathcal{F}}_{T_2}$$
其中 $T_1,T_2$ 都是 $T$ 的有限子集，则可取 $S=T_1\cup T_2$，将 $B$ 记为
$$\left({\left({\pi }_{T_1}^S\right)}^{-1}{A}_1\right)\times {\Omega }_{T-S}=A_1\times {\Omega }_{T-T_1}=B=A_2\times {\Omega }_{T-T_2}=\left({\left({\pi }_{T_2}^S\right)}^{-1}{A}_2\right)\times {\Omega }_{T-S}$$
因此 ${\left({\pi }_{T_1}^S\right)}^{-1}{A}_1={\left({\pi }_{T_2}^S\right)}^{-1}{A}_2,$ 由 $(2.5.15)$ 式,
$$P_{T_1}\left(A_1\right)=P_S\left({\left({\pi }_{T_1}^S\right)}^{-1}{A}_1\right)=P_S\left({\left({\pi }_{T_2}^S\right)}^{-1}{A}_2\right)=P_{T_2}\left(A_2\right)$$
所以对有限维可测基底柱集 $B$, 虽然其基底不是唯一的, 但取其任一基底, 规定
$$P(B)=P_{T_1}\left(A_1\right)$$
是${\mathcal{F}}_{T_1}$上的概率，因此也就是 ${\overline{\mathcal{F}}}_{T_1}$ 上的概率，再证明$\mathcal{A}$上的有限可加性，注意这里$P$还只是一个有限可加的集函数，不是测度。

定理 2.5.4

{ ( Ω t , F t , P t ) , t ∈ T } left{left(Omega_{t}, mathscr{F}_{t}, P_{t}right), t in Tright} {(Ωt​,Ft​,Pt​),t∈T} 为一族概率空间, 则在乘积可测空间$\left({\Omega }_T,{\mathcal{F}}_T\right)$ 上存在唯一概率测度 $P,$ 满足对每个有限 $T_1\subset T$
$$P{\left({\pi }_{T_1}^T\right)}^{-1}=\prod _{t\in T_1}{P}_t$$
注意，$\prod _{t\in T_1}{P}_t$ 是有限乘积空间的测度，可以用于Fubini定理。

证明：所以若 $P$ 存在，因为有限维可测矩形柱集全体 $\mathcal{C}$ 是一个 $\pi$ 类，$\sigma (\mathcal{C})=\mathcal{F}$ ，又由 $P{\left({\pi }_{T_1}^T\right)}^{-1}=\prod _{t\in T_1}{P}_t$ 可以保证在有限维可测矩形柱集上的是唯一确定的，因此唯一性可以保证。

对有限 $T_1\subset T,$ 取 $P_{T_1}=\prod _{t\in T_1}{P}_t,$ 则容易说明 { P T 1 , left{P_{T_{1}},right. {PT1​​, 有限 $T_1\subset T\}$ 满足相容性条件，因此由命题 2.5.3可知，可规定 $P$使之在 $\mathcal{A}$ 上为有限可加的，且 $P\left({\Omega }_T\right)=1$。因而还只需要证明 $P$ 在 $\mathcal{A}$ 上是 $\sigma$ 可加的。

为此, 在下面将证明, 对 $\mathcal{A}$ 中每个递减到 $\varnothing$ 的序列 { A n } left{A_{n}right} {An​} 都有
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n\right)=0$$

由于 $A_n$ 都是有限维柱集, 因此不妨设有 $T$ 的可列子集 { t n , n ≥ 1 } left{t_{n}, n geq 1right} {tn​,n≥1} 使每个 $A_n$ 都是基底在 ${\mathcal{F}}_{t_1\cdots t_n}$ 的有限维柱集。（可数个可数集合的并是可数的，如果 $A_n$ 的基底不够则用 ${\Omega }_{t_n}$ 代替）。

若 $T_n$ 为 $T$ 的有限子集, 记
$${\Omega }_{T_n}=\prod _{t\in T_n}{\Omega }_t,P_{T_n}=\prod _{t\in T_n}{P}_t$$
又令 $P_{T-T_n}$ 为 ${\Omega }_{T-T_n}$ 上对有限维可测柱集规定的可加集函数, 它满足
$$P_{T-T_n}{\left({\pi }_{u_1\cdots u_n}^{T-T_n}\right)}^{-1}=\prod _{i=1}^n{P}_{u_i},u_1\cdots ,u_n\in T-T_n$$

由 Fubini 定理，对有限维可测柱集 $A=B\times {\Omega }_{T-T_k},B\in {\mathcal{F}}_{T_k}$ 若 T n = { t 1 , ⋯   , t n } ⊂ T k , A ( ω t 1 , ⋯   , ω t n ) T_{n}=left{t_{1}, cdots, t_{n}right} subset T_{k}, Aleft(omega_{t_{1}}, cdots, omega_{t_{n}}right) Tn​={t1​,⋯,tn​}⊂Tk​,A(ωt1​​,⋯,ωtn​​) 表示 $A$ 的 $\left({\omega }_{t_1},\cdots ,{\omega }_{t_n}\right)$ 截口。$A\left({\omega }_{t_1},\cdots ,{\omega }_{t_n}\right)$表示 $A$ 集合里固定 $\left({\omega }_{t_1},\cdots ,{\omega }_{t_n}\right)$ 的那些元素。

$P_{T_k}=P_{T_k-T_n}\times P_{T_n}$ 都是有限维乘积空间上的测度，所以
$$\begin{gathered} P_{T_k}(B)=\iint I_B\mathrm{d}{P}_{T_k-T_n}\mathrm{d}{P}_{T_n} \\ =\int P_{T_k-T_n}\left(B\left({\omega }_{t_1},\cdots ,{\omega }_{t_n}\right)\right)\mathrm{d}{P}_{T_n} \end{gathered}$$
由于
$${\left({\pi }_{T_k-T_n}^T\right)}^{-1}B\left({\omega }_{t_1},\cdots ,{\omega }_{t_n}\right)=A\left({\omega }_{t_1},\cdots ,{\omega }_{t_n}\right)$$
所以
$$\begin{array}{rlr}P(A)& =P\left({\left({\pi }_{T_k}^T\right)}^{-1}B\right)=P_{T_k}(B)& \\ & =\int P_{T-T_n}\left(A\left({\omega }_{t_1},\cdots ,{\omega }_{t_n}\right)\right)\mathrm{d}{P}_{T_n}& \end{array}$$

下面用反证法来证明
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n\right)=0$$

若对某递减序列 { A n } left{A_{n}right} {An​} 不成立，则有某个 $\epsilon >0$ 对每个 $n$ 有$P\left(A_n\right)\ge \epsilon$。

由于 $A_n$ 都是有限维柱集, 因此不妨设有 $T$ 的可列子集 { t n , n ≥ 1 } left{t_{n}, n geq 1right} {tn​,n≥1} 使每个 $A_n$ 都是基底在 ${\mathcal{F}}_{t_1\cdots t_n}$ 的有限维柱集。（可数个可数集合的并是可数的，如果 $A_n$ 的基底不够则用 ${\Omega }_{t_n}$ 代替）。

对于柱集列 { A n } left{A_{n}right} {An​} 做简单调整后, 我们总可以选取参数列 { t 1 ⋯ t n } ⊂ T left{t_{1} cdots t_{n}right} subset T {t1​⋯tn​}⊂T，设柱集 $A_n$ 的基底是 { t 1 ⋯ t n } left{t_{1} cdots t_{n}right} {t1​⋯tn​}，由于 { A n } left{A_{n}right} {An​} 是递减的，那么柱集 $A_{n+1}$ 的基底包含 { t 1 ⋯ t n } left{t_{1} cdots t_{n}right} {t1​⋯tn​}。由此我们可以得到一个递增的基底序列： { t 1 ⋯ t n } ⊂ { t 1 ⋯ t n , ⋯ t s } ⊂ ⋯ left{t_{1} cdots t_{n}right}subset left{t_{1} cdots t_{n}, cdots t_sright} subset cdots {t1​⋯tn​}⊂{t1​⋯tn​,⋯ts​}⊂⋯。规定 { A n } left{A_{n}right} {An​} 的基底都在 $T$ 上，用这些有限的基底分别作用上去：

令
B n = { ( ω t 1 … ω t n 1 ) : P T − { t 1 ⋯ t n 1 } ( A n ( ω t 1 … ω t n 1 ) ) ≥ ε / 2 } B_{n}=left{left(omega_{t_{1}}dotsomega_{t_{n_1 }}right): P_{T-left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}left(A_{n}left(omega_{t_{1}}dotsomega_{t_{n_1}}right)right) geq varepsilon / 2right} Bn​={(ωt1​​…ωtn1​​​):PT−{t1​⋯tn1​​}​(An​(ωt1​​…ωtn1​​​))≥ε/2}

代入上面Fubini定理得到的公式：
ε ≤ P ( A n ) = ∫ P T − { t 1 ⋯ t n 1 } ( A ( ω t 1 , ⋯   , ω t n 1 ) ) d P { t 1 ⋯ t n 1 } = ∫ B n P T − { t 1 ⋯ t n 1 } ( A ( ω t 1 , ⋯   , ω t n 1 ) ) d P { t 1 ⋯ t n 1 } + ∫ B n c P T − { t 1 ⋯ t n 1 } ( A ( ω t 1 , ⋯   , ω t n 1 ) ) d P { t 1 ⋯ t n 1 } ≤ P { t 1 ⋯ t n 1 } ( B n ) + ε / 2 begin{aligned} varepsilon leq P(A_n) &=int P_{T-left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}left(Aleft(omega_{t_{1}}, cdots, omega_{t_{n_1}}right)right) mathrm{d} P_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}\ &=int_{B_{n}}P_{T-left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}left(Aleft(omega_{t_{1}}, cdots, omega_{t_{n_1}}right)right) mathrm{d} P_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}+int_{B_{n}^{c}} P_{T-left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}left(Aleft(omega_{t_{1}}, cdots, omega_{t_{n_1}}right)right) mathrm{d} P_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}} \&leq P_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}left(B_{n}right)+varepsilon / 2 end{aligned} ε≤P(An​)​=∫PT−{t1​⋯tn1​​}​(A(ωt1​​,⋯,ωtn1​​​))dP{t1​⋯tn1​​}​=∫Bn​​PT−{t1​⋯tn1​​}​(A(ωt1​​,⋯,ωtn1​​​))dP{t1​⋯tn1​​}​+∫Bnc​​PT−{t1​⋯tn1​​}​(A(ωt1​​,⋯,ωtn1​​​))dP{t1​⋯tn1​​}​≤P{t1​⋯tn1​​}​(Bn​)+ε/2​
（把概率放大成1）

故 P { t 1 ⋯ t n 1 } ( B n ) ≥ ε / 2 P_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}left(B_{n}right) geq varepsilon / 2 P{t1​⋯tn1​​}​(Bn​)≥ε/2。 又由于 { B n } left{B_{n}right} {Bn​} 为 F { t 1 ⋯ t n 1 } mathscr{F}_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}} F{t1​⋯tn1​​}​ 中递减序列（ $A_n$ 递减），因而由 P { t 1 ⋯ t n 1 } P_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}} P{t1​⋯tn1​​}​ 为 ( Ω { t 1 ⋯ t n 1 } , F { t 1 ⋯ t n 1 } ) left(Omega_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}, mathscr{F}_{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}right) (Ω{t1​⋯tn1​​}​,F{t1​⋯tn1​​}​) 上的概率可知，必存在 ω ˉ { t 1 ⋯ t n 1 } ∈ ⋂ n B n bar{omega}_{{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}} in bigcap_{n} B_{n} ωˉ{t1​⋯tn1​​}​∈⋂n​Bn​ 这时
P T − { t 1 ⋯ t n 1 } ( A n ( ω ˉ t 1 … ω ˉ t n 1 ) ) ≥ ε / 2 , n ≥ 1 P_{T-{left{t_{1} cdots t_{n_1}right}}}left(A_{n}left(bar{omega}_{t_{1}}dots bar{omega}_{t_{n_1}}right)right) geq varepsilon / 2, quad n geq 1 PT−{t1​⋯tn1​​}​(An​(ωˉt1​​…ωˉtn1​​​))≥ε/2,n≥1

把刚才用于 ${\Omega }_T,A_n,\epsilon$ 的论证, 现在用于 Ω T − { t 1 ⋯ t n 1 } , A n ( ω ˉ t 1 … ω ˉ t n 1 ) , ε / 2 , Omega_{T-left{t_{1}cdots t_{n_1}right}}, A_{n}left(bar{omega}_{t_{1}}dots bar{omega}_{t_{n_1}}right), varepsilon / 2, ΩT−{t1​⋯tn1​​}​,An​(ωˉt1​​…ωˉtn1​​​),ε/2, 可得 ${\bar{\omega }}_{t_{n_1+1}\cdots t_{n_2}}$ 满足:
P T − { t 1 ⋯ t n 1 ⋯ t n 2 } ( A n ( ω ˉ t 1 ⋯ t n 1 , ω ˉ t n 1 + 1 ⋯ t n 2 ) ) ≥ ε / 4 , n ≥ 1 P_{T-left{t_{1}cdots t_{n_1}cdots t_{n_2}right}}left(A_{n}left(bar{omega}_{t_{1}cdots t_{n_1}}, bar{omega}_{t_{n_1+1}cdots t_{n_2}}right)right) geq varepsilon / 4, quad n geq 1 PT−{t1​⋯tn1​​⋯tn2​​}​(An​(ωˉt1​⋯tn1​​​,ωˉtn1​+1​⋯tn2​​​))≥ε/4,n≥1

继续这一过程可得

$$P_{T-T_j}\left(A_n\left({\hat{\omega }}_1,\cdots ,{\hat{\omega }}_j\right)\right)\ge \epsilon /2^j,n\ge 1,j\ge 1$$
这里： T j = { t 1 ⋯ t n 1 ⋯ t n j } , ω ^ j = ω ˉ t n j − 1 + 1 ⋯ t n j T_j={t_1cdots t_{n_1}cdots t_{n_j}}, hat{omega}_{j}=bar{omega}_{t_{n_{j-1}+1}cdots t_{n_j}} Tj​={t1​⋯tn1​​⋯tnj​​},ω^j​=ωˉtnj−1​+1​⋯tnj​​​

构造$\bar{\omega }=\left({\omega }_t,t\in T\right)$，如果$t\notin T_j,j\ge 1$，分量在 ${\Omega }_t$ 任取，如果$t\in T_j,\exists j\ge 1$，那么分量取${\hat{\omega }}_j$。

接着将证明
$$\bar{\omega }\in \bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n$$

由递减性，$A_1$ 是基底在 ${\mathcal{F}}_{T_1}$ 的柱集, $P_{T-T_1}\left(A_1\left({\hat{\omega }}_1\right)\right)\ge \epsilon /2$。故$A_1\left({\hat{\omega }}_1\right)$非空，$\bar{\omega }\in A_1$。 同理
$$P_{T-T_j}\left(A_j\left({\hat{w}}_1,\cdots ,{\hat{\omega }}_j\right)\right)\ge \epsilon /2^j$$
故 $A_j\left({\hat{\omega }}_1,\cdots ,{\hat{\omega }}_j\right)$ 非空（ $A_j$ 是柱集，它的一个截口非空 ）。所以有 $\bar{\omega }\in A_j$ 。这和 $A_n$ 递减到空集矛盾。

最后

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