高斯分布是一个很神奇的分布，很多人在考虑问题的时候，总是很喜欢假设数据是满足高斯分布的。其原因可能就是，正态分布的各项统计学特征都可以很好地表示出来，我们只需要知道两个参数——均值和方差，即可，就可以得到概率密度分布、累计密度分布等等，同时可以利用多种现有的方法解决不同的问题。

但是现实场景中，很多数据并不是如我们想象地那样：满足高斯性。那么我们可以采用逆变换采样（inverse transform sampling）的方法将这些非高斯数据先转换成服从高斯分布的数据，然后利用现有的方法解决问题。

什么是逆变换采样

逆变换采样，又称为逆采样（inversion sampling）、逆概率积分变换（inverse probability integral transform），是伪随机数采样的一种基本方法。也就是说，在已知任意概率分布的累计分布函数下，可用于从该分布中生成随机样本。
逆变换采样采用一个在0到1之间的$u$的均匀样本，然后从分布$P(X)$的领域中返回最大的数字$x$，使得$P(-\infty <X<x)\le u$。

定义

根据概率积分变换，假设$X$是一个连续的随机变量，那么它的累积分布函数为$F_X$。此时，对于不同的$X$，随机变量$Y=F_X(X)$ 服从区间在$[0,1]$上的均匀分布。那么逆变换采样就是将这个过程反过来，如果$Y$服从0到1之间的均匀分布，且$X$有一个累积分布$F_X$，那么随机变量$F_X^{-1}(Y)$跟$X$有相同的分布。所以，我们可以通过分布$F_X$的逆变换来生成随机样本。

思想来源

现在我们要从区间为[0,1]的均匀分布中用累积分布函数$F_X(X)$中生成随机变量$X$的样本。假设$F_X(X)$是严格递增的函数，那么我们要尝试找到一些严格单调的变换$T:[0,1]\mapsto \mathcal{R}$，使得$T(U)\stackrel{d}{=}X$。（但是，这里的严格单调的条件可能在一般情况下是不正确的。）
对于$x\in \mathcal{R}$，我们将得到
$$F_X(x)=P(X\le x)=P(T(U)\le x)=P(U\le T^{-1}(x))=T^{-1}(x)。$$
因此，我们可以知道$F_X(x)$为$T$的逆函数，也就是说，
$$T(u)=F_X^{-1}(u),u\in [0,1]。$$
所以，我们就可以从$F_X^{-1}(u)$中生成变量$X$的样本了。

方法

那么，我们怎么从不同的分布中产生服从高斯分布的样本呢？
假设$F_X(x)$是随机变量$X$的累积分布函数，·存在一个变换$T(U)$使得$Y=T(U)\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中，$\mu$表示均值，${\sigma }^2$表示方差。那么，这个变换为$T(u)=\mu +{\sigma }^2\cdot {\Phi }^{-1}(F_X(u))$。
（简单说明：
因为从上面的思想我们知道，$F_X(x)=P(X\le x)=P(T(U)\le x)=\Phi (\frac{T(U)-\mu }{\sigma })$。）

matlab实现

将服从均匀分布的变量$X$转换成服从均值为0，方差为1的正态分布的变量$Y$：

    >> X = rand(2000,1);
    >> mu = 0;
    >> sigma = 1;
    >> Y = mu + sqrt(2)*sigma*erfinv(2*X-1);

参考资料：

1. Inverse transform sampling
2. Transforming uniform variables to normal variables
3. The nonparanormal: Semiparametric estimation of high dimensional undirected graphs

最后

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