数论 之 乘法逆元介绍（扩展欧几里得算法求解乘法逆元）

1.扩展欧几里得：

    已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满贝祖等式：。

 2.乘法逆元：ax≡1 (mod p) 这个等式可以描述为：

                   a乘一个数x并模p等于1，即 a%p*x%p=res,res%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式。

      逆元x可以描述为：满足(a*x )%p恒等于1，那么x就可以称为a的乘法逆元。

3.为什么可以用扩展欧几里得求得逆元？

         因为ax≡1 (mod p) 就是ax-yp=1.

         把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。

         就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

4.代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,p;
int exgcd (ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd (b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    scanf ("%d%d",&n,&p);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll x,y;
        exgcd (i,p,x,y);
        x=(x+p)%p;
        printf ("%dn",x);
    }
    return 0;
}

5.参考：

乘法逆元的介绍

 乘法逆元简单介绍

逆元详解

扩展欧几里得算法求解乘法逆元

求逆元的几种方法

最后

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