连续系统如何离散化

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我是靠谱客的博主无私外套，最近开发中收集的这篇文章主要介绍连续系统如何离散化，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

最常见的两种方法就是欧拉法和塔斯汀法(Tustin's method，也叫bilinear transformation)。
欧拉法即为：
$s=frac{z-1}{t}$
将传递函数中的s用这个替换即可。
这是因为s在拉普拉斯变换里面是微分，而
$dot{x} approx (x(k+1)-x(k))/t$
而z变换里面的z运算符即为：
$zx(k)=x(k+1)$
微分关系即变为：
$dot{x} approx (zx(k)-x(k))/t=x(k)(z-1)/t$

但是欧拉法用的是积分的矩形法则，效果有时并不好。所以又提出了根据梯形法则的塔斯汀法：
$s=frac{2}{t}frac{z-1}{z+1}$
将C(s)里面的s都替换掉，变成z和C(z)就行了。

可以再matlab里面用c2d函数进行运算:
[numZ denZ]=c2d(num,den,'tustin')%bilinear method
欧拉法在matlab里面貌似已经是不支持了。

再说下z域里怎么写成差分方程。如果我们有控制器：
$c(z)=frac{y(z)}{u(z)}=frac{a_{m}z^{m}+a_{m-1}z^{m-1}....+a_{1}z^{1}+b_{0}}{b_{n}z^{n}+b_{n-1}z^{n-1}....+b_{1}z^{1}+b_{0}}$
且n≥m,
将分式转换：
$y(z)(a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}....+a_{1}z^{1}+a_{0})=u(z)(b_{m}z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}....+b_{1}z^{1}+b_{0})$
两边同除以 $z^n$
$y(z)(a_{n}+a_{-1}z^{-1}....+a_{1}z^{1-n}+a_{0}z^{-n})=u(z)(b_{m}z^{m-n}+b_{m-1-n}z^{m-1-n}....+b_{1}z^{1-n}+b_{0}z^{-n})$
注意
$z^{-n}x(k)=x(k-n)$
让Y(z)=Y(k),U(z)=U(k)
$a_{n}y(k)+a_{-1}y(k-1)....+a_{1}y(k+1-n)+a_{0}y(k-n)\=b_{m}u(k+m-n)+b_{m-1-n}u(k+m-n-1)....+b_{1}u(k+1-n)+b_{0}u(k-n)$
那么就能得到k时刻Y的值了。
$begin{split}
&y(k)=frac{1}{a_{n}}
((-a_{-1}y(k-1)....-a_{1}y(k+1-n)-a_{0}y(k-n)\
&+b_{m}u(k+m-n)+b_{m-1-n}u(k+m-n-1)....+b_{1}u(k+1-n)+b_{0}u(k-n))\
end{split}$

举个例子：
$c(z)=frac{y(z)}{u(z)}=frac{2z-1}{z^2+z+1}$
分式上下均除以z的平方：
$c(z)=frac{y(z)}{u(z)}=frac{2z^{-1}-z^{-2}}{1+z^{-1}+z^{-2}}$
进一步整理：
$y(k)(1+z^{-1}+z^{-2})=u(k)(2z^{-1}-z^{-2})$
再把左边的部分项挪过来：
$y(k)=2u(k-1)-u(k-2)-y(k-1)-y(k-2)$
这样就知道k时刻控制器的输出是多少了，能在程序里面进行实现了。