概述
频域与时域之间的关系是：
时域离散——频域周期；
时域周期——频域离散；
对于连续时间信号
1.拉普拉斯变换：
X
(
s
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
s
t
 
d
t
X(s)=int_{-infty}^{infty} {x(t)e^{st}} ,{rm d}t
X(s)=∫−∞∞x(t)estdt
对应的是s平面
2.傅里叶变换：
X
(
j
w
)
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
j
w
t
 
d
t
X({jw})=int_{-infty}^{infty} {x(t)e^{jwt}} ,{rm d}t
X(jw)=∫−∞∞x(t)ejwtdt
对应的是连续时间信号的频谱，因为
X
(
j
w
)
=
X
(
s
)
∣
s
=
j
w
X(jw)=X(s)|_{s=jw}
X(jw)=X(s)∣s=jw所以频谱与s平面的虚轴相对应
对于离散时间信号
3.z变换
X
(
z
)
=
∑
i
=
1
N
−
1
x
(
n
)
z
−
n
X(z)=sum_{i=1}^{N-1}x(n)z^{-n}
X(z)=i=1∑N−1x(n)z−n
对应的是z平面
4.离散时间傅里叶变换（DTFT）
X
(
e
j
w
)
=
∑
n
=
1
N
−
1
x
(
n
)
e
−
j
w
n
X(e^{jw})=sum_{n=1}^{N-1}x(n)e^{-jwn}
X(ejw)=n=1∑N−1x(n)e−jwn
是离散时间信号频谱因为
X
(
e
j
w
)
=
X
(
z
)
∣
z
=
e
j
w
X(e^{jw})=X(z)|_{z=e^{jw}}
X(ejw)=X(z)∣z=ejw对应的是z平面的单位圆
5离散傅里叶变换（DFT）
X
(
k
)
=
∑
n
=
1
N
−
1
x
(
n
)
W
N
k
n
X({k})=sum_{n=1}^{N-1}x(n)W{^{kn}_N}
X(k)=n=1∑N−1x(n)WNkn
时域上是将离散信号进行周期延拓，周期延拓后进行离散时间傅里叶变换
频域上是对频谱进行采样，将连续频谱离散化
X
(
k
)
=
X
(
z
)
∣
z
=
W
N
−
k
=
e
−
j
2
π
N
=
X
(
e
j
w
)
∣
w
=
2
π
N
k
X(k)=X(z)|_{z=W{^{-k}_N}=e^{-jfrac{2pi}{N}}}=X(e^{jw})|_{w=frac{2pi}{N}k}
X(k)=X(z)∣z=WN−k=e−jN2π=X(ejw)∣w=N2πk
对应的是z平面单位圆上等N分点
对应的是在频谱上做间隔为
w
N
=
2
π
N
w_N=frac{2pi}{N}
wN=N2π的采样
z变换和拉普拉斯变换的关系：
令
z
=
e
s
t
z=e^st
z=est
s
=
σ
+
j
Ω
s=sigma +jOmega
s=σ+jΩ
z表达为
z
=
r
e
j
w
z=re^{jw}
z=rejw
则
r
=
e
σ
t
r=e^{sigma t}
r=eσt
w
=
Ω
t
w=Omega t
w=Ωt
可见，s平面左半平面对应z平面的单位圆内，s平面虚轴对应z平面的单位圆上。
以上是我对这些变化的理解，欢迎来交流。
最后
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