FFT解泊松方程

Pérez, Patrick, Gangnet M , Blake A . Poisson image editing[J]. ACM Transactions on Graphics, 2003, 22(3):313.

上一篇：泊松融合笔记

1. 待求解的问题
   $$\Delta f=\nabla \cdot v(x,y)=div(v(x,y)),\forall (x,y)\in \Omega ,withf{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }=f^{\ast }{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }$$
   其中$\mathcal{R}\subset R^2$ 表示背景图像区域，$v(x,y)=(\frac{\partial I(x,y)}{\partial x},\frac{\partial I(x,y)}{\partial y})$是前景图片合并前的梯度，$f:R^2\to R$，表示合并后在$\Omega$区域的灰度值函数，在目标区域的梯度要尽量接近合并前前景图片的梯度，$f^{\ast }$表示合并后在$\Omega$区域之外的灰度值函数，在边界处灰度连续，即$f{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }=f^{\ast }{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }$。

2. 扩大求解区域
   为了使用FFT求解，需要将求解区域扩大到整个背景图像区域。扩充后问题的形式如下：
   $$\Delta f(x,y)=\nabla \cdot V(x,y)=div(V(x,y)),\forall (x,y)\in \mathcal{R}and\nabla f(x,y)\cdot n{|}_{\partial \mathcal{R}}=0$$
   其中$V(x,y)$定义为：
   $$V(x,y)=\{\begin{array}{ll}v(x,y)& if(x,y)\in \Omega \\ \nabla I(x,y)& otherwise\end{array}$$
   $\nabla f(x,y)\cdot n{|}_{\partial \mathcal{R}}=0$是黎曼边界条件，$n$为图像边界的外法向，等价于：
   $$\begin{gathered} (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})\cdot (1,0)=0,ifx=0||x=W-1 \\ (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y})\cdot (0,1)=0,ify=0||y=H-1 \end{gathered}$$
   上述条件可转换为：
   $$\begin{gathered} V^x=\frac{\partial I(x,y)}{\partial x}=0,ifx=0||x=W-1 \\ {V}^y=\frac{\partial I(x,y)}{\partial y}=0,ify=0||y=H-1 \end{gathered}$$

3. 傅里叶变换
   $$\begin{gathered} f(x,y)=\frac{1}{WH}\sum _{u=0}^{W-1}\sum _{v=0}^{H-1}f(u,v)e^{-2\pi i(\frac{xu}{W}+\frac{yv}{H})} \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(\frac{2\pi i}{W}u)f(u,v),\frac{\partial f(u,v)}{\partial y}=(\frac{2\pi i}{H}v)f(u,v) \\ \frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x^2}=(\frac{2\pi i}{W}u{)}^{2}f(u,v),\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y^2}=(\frac{2\pi i}{H}v{)}^{2}f(u,v) \end{gathered}$$
   上述计算公式对$V(x,y)$的分量分别计算也成立。
   待求解的问题为：
   $$\begin{gathered} \frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial V^x(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial V^y(x,y)}{\partial y},(x,y)\notin \partial \mathcal{R} \\ \iff \\ ((\frac{2\pi i}{W}u{)}^2+(\frac{2\pi i}{H}v{)}^2)f(u,v)=(\frac{2\pi i}{W}u)V^x(u,v)+(\frac{2\pi i}{W}v)V^y(u,v) \\ (u=1,2,\cdots ,W-2,v=1,2,\cdots ,H-2) \end{gathered}$$
   化简为：
   $$f(u,v)=\{\begin{array}{ll}\frac{(\frac{2\pi i}{W}u)V^x(u,v)+(\frac{2\pi i}{W}v)V^y(u,v)}{(\frac{2\pi i}{W}u{)}^2+(\frac{2\pi i}{H}v{)}^2}& u=1,2,\cdots ,W-2,v=1,2,\cdots ,H-2\\ mean(f(u,v))& otherwise\end{array}$$
   求得每一点得$f(u,v)$再用傅里叶逆变换得到$f(x,y)$。

最后

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