【Python】Beta分布详解

投硬币，硬币是正还是反，这属于两点分布的问题。

疯狂投硬币，正面出现的次数，服从二项分布：【Python】从二项分布到泊松分布

二项分布中，若特定时间内的伯努利试验次数趋于无穷大，那么在某一时刻发生某事件的概率，服从泊松分布。

在某一时刻，发生第N次事件，其概率服从$\Gamma$分布：【Python】Gamma分布详解

回到抛硬币的问题，如果硬币出现正反的概率是未知的，考虑到时间地点重力等因素的不同，硬币出现正面的概率甚至可能是不稳定的，换言之，硬币出现正面的概率，或许也是服从某种分布的。

暂且将这个概率设为$\theta$，则经过n次伯努利试验，在$\theta$发生的情况下，正面出现$k$次的概率为

$$\pi (k|\theta )=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\theta }^k(1-\theta {)}^{n-k}$$

由于这个$\theta$实际上是未知的，但这个$P$却可通过不断地伯努利试验来去逼近，所以接下来就可以通过贝叶斯公式，来将$\theta$表达出来

$$\pi (\theta |k)=\frac{\pi (k|\theta )\pi (\theta )}{\int \pi (k|\theta )\pi (\theta )\text{d}\theta }$$

其中，$\pi (\theta |k)$表示$k$发生的情况下，$\theta$发生的概率；$\pi (\theta )$为$\theta$发生的概率。

设$\theta$服从均匀分布，则在$(0,1)$范围内，其概率密度$\pi (\theta )=1$，于是$\pi (\theta |k)$可以写为

$$\pi (\theta |k)=\frac{{\theta }^k(1-\theta {)}^{n-k}}{\int {\theta }^k(1-\theta {)}^{n-k}\text{d}\theta }$$

由于$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}\text{d}t$，则上式可写为

$$\pi (\theta |k)=\frac{\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (n-k+1)}{\theta }^k(1-\theta {)}^{n-k}$$

此即$\mathrm{B}$分布。

所以，$\mathrm{B}$分布就是在抛$n$次硬币，出现$k$次正面后，则单次抛硬币出现正面的概率。

在Numpy中，random.beta(a,b)即为$\mathrm{B}$分布，其表达式为$p(x)=\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}{x}^{a-1}(1-x{)}^{b-1}$。

显而易见，当$a=b=1$时，$p(x)=1$，退化为均匀分布。

当a和b的取值不同时，$\mathrm{B}$分布表现出不同的分布特性

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import beta

a_s = [0.5, 5, 1, 2, 2]
b_s = [0.5, 1, 3, 2, 5]

for a,b in zip(a_s, b_s):
    xs = beta(a, b, size=20000)
    plt.hist(xs, 100, alpha=0.5, label=f"a={a}, b={b}")

plt.legend()
plt.show()

效果为

最后

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