概述
ch.13. 量子计算机的物理实现(续)
量子计算机的基本事实
定义: τ Q tau_Q τQ是量子系统在抵抗量子噪声,并维持自身的量子特性时所能够持续的最短时间
τ Q = min { T 1 , T 2 } tau_Q=min{T_1, T_2} τQ=min{T1, T2}
其中, T 1 T_1 T1是激发态 ∣ E 1 ⟩ |E_1rang ∣E1⟩在回到基态 ∣ E 0 ⟩ |E_0rang ∣E0⟩之前的弛豫时间,而 T 2 T_2 T2则是关于态 ∣ 0 ⟩ |0rang ∣0⟩和态 ∣ 1 ⟩ |1rang ∣1⟩之间的相 e i α e^{ialpha} eiα的dephasing所需时间
ρ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ → d e p h a s e ρ = p 1 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + p 2 ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ rho=|psiranglangpsi |mathoprightarrowlimits^{dephase}rho = p_1|0ranglang0 |+p_2|1ranglang 1| ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣→dephaseρ=p1∣0⟩⟨0∣+p2∣1⟩⟨1∣
从密度矩阵上来看,是从纯态变为了混态
定义: τ o p tau_{op} τop是进行一次形如量子门或量子测量这样的常规操作的所需时间
定义: n o p = τ Q τ o p n_{op}=dfrac{tau_Q}{tau_{op}} nop=τopτQ是量子计算机系统在所需的量子特性被decoherence(退相干)摧毁前所能够进行的最大操作数
举例:对于核自旋而言, n o p = 1 0 5 ∼ 1 0 14 s n_{op}=10^5sim 10^{14} s nop=105∼1014 s;对于电子自旋而言, n o p = 1 0 4 s n_{op}=10^4 s nop=104 s;对于光学共振器而言, n o p = 1 0 9 s n_{op}=10^9 s nop=109 s
建立一台量子计算机的指导原则
基本原则: n o p n_{op} nop应该足够大,以至于能够在该系统所需要的量子特性被量子噪声摧毁之前完成所有类型的量子运算
原则1:qubits的鲁棒(robust)表示
在实验中,是很容易对一个逻辑qubit进行物理表示的。例如:
使用电子自旋:
∣
0
⟩
L
=
∣
↑
⟩
,
∣
1
⟩
L
=
∣
↓
⟩
|0rang_L=|uparrowrang, |1rang_L=|downarrowrang
∣0⟩L=∣↑⟩, ∣1⟩L=∣↓⟩
使用双电子自旋:
∣
00
⟩
L
=
∣
↑
↑
⟩
,
∣
01
⟩
L
=
∣
↑
↓
⟩
|00rang_L=|uparrowuparrowrang, |01rang_L=|uparrowdownarrowrang
∣00⟩L=∣↑↑⟩, ∣01⟩L=∣↑↓⟩,
∣
10
⟩
L
=
∣
↓
↑
⟩
,
∣
11
⟩
L
=
∣
↓
↓
⟩
|10rang_L=|downarrowuparrowrang, |11rang_L=|downarrowdownarrowrang
∣10⟩L=∣↓↑⟩, ∣11⟩L=∣↓↓⟩
使用3/2自旋粒子:
∣
00
⟩
L
=
∣
−
3
2
⟩
,
∣
01
⟩
L
=
∣
−
1
2
⟩
|00rang_L=|-dfrac{3}{2}rang, |01rang_L=|-dfrac{1}{2}rang
∣00⟩L=∣−23⟩, ∣01⟩L=∣−21⟩,
∣
10
⟩
L
=
∣
1
2
⟩
,
∣
11
⟩
L
=
∣
3
2
⟩
|10rang_L=|dfrac{1}{2}rang, |11rang_L=|dfrac{3}{2}rang
∣10⟩L=∣21⟩, ∣11⟩L=∣23⟩
但是,要对一个qubit进行鲁棒表示并不简单,因为编码空间必须是离散的,同时这个编码空间要被对称性、完整性、拓扑结构或其他的东西所保护
Rabi振动定义了一个非常可控的qubit
原则2:能够展现出一个广义量子门集:Deutsch门,Barenco门,CNOT门与所有的单qubit门
近似广义门集:{CNOT门,Hadmard门,T门},{Toffoli门,Hadmard门,phase门}
量子门通常由交互picture/薛定谔picture/海森堡picture/狄拉克picture中的交互哈密顿量的动力学演化(dynamical evolution)实现
原则3:能够准备初始量子态
例如:计算基矢态: ∣ 0 ⟩ ⊗ n = ∣ 0 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ ∣ 0 ⟩ |0rang^{otimes n}=|0rangotimes cdots otimes |0rang ∣0⟩⊗n=∣0⟩⊗⋯⊗∣0⟩
当初态被准备好时,其他的量子态便可以通过量子门的操作获得
旁注:初态最好要是纯态,而不是混态,但在操作中,让所有的qubit都处于同一个态 ∣ 0 ⟩ |0rang ∣0⟩,并不是件容易的事
原则4:能够对输出的量子态进行测量
理论研究:投影测量=强测量=量子计算机与经典设备之间的联系非常紧密
而弱测量是可能实现的,但需要一个完整的量子计算机(an ensemble of quantum computers)
原则5:经典计算与经典通信
例如:如何将任意一个酉矩阵分解为广义门集中的基本门的组合,是在经典计算机中完成的
原则6:在不同类型的qubit之间的量子通信
1、fixed qubit和flying qubit之间的交互
2、flying qubit的传输
原则7:能够实现可以容错的量子计算机
能够执行纠错命令,去纠正量子错误
ch.14. 谐振子量子计算机
简单的量子谐振子
H 0 = ℏ ω ( a + a + 1 2 ) H_0=hbar omega (a+a+dfrac{1}{2}) H0=ℏω(a+a+21),其中, a a a是下降算符, a ∣ 0 ⟩ = 0 , a ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ a|0rang=0, a|nrang=sqrt n|n-1rang a∣0⟩=0, a∣n⟩=n∣n−1⟩
时间演化:
∣ n ( t ) ⟩ = e − i H t ℏ ∣ n ⟩ = e − i ω t ( n + 1 2 ) ∣ n ⟩ = e − i ω t 2 e − i ω t n ∣ n ⟩ |n(t)rang=e^{-frac{iHt}{hbar}}|nrang=e^{-iomega t(n+frac{1}{2})}|nrang=e^{-frac{iomega t}{2}}e^{-iomega t n}|nrang ∣n(t)⟩=e−ℏiHt∣n⟩=e−iωt(n+21)∣n⟩=e−2iωte−iωtn∣n⟩
∣ ψ ( 0 ) ⟩ = ∑ n c n ∣ n ⟩ |psi(0)rang=sumlimits_nc_n|nrang ∣ψ(0)⟩=n∑cn∣n⟩
∣ ψ ( t ) ⟩ = e − i ω t 2 ∑ n c n e − i n ω t ∣ n ⟩ |psi(t)rang=e^{-frac{iomega t}{2}}sumlimits_n c_ne^{-inomega t}|nrang ∣ψ(t)⟩=e−2iωtn∑cne−inωt∣n⟩
1、
e
−
i
ω
t
2
e^{-frac{iomega t}{2}}
e−2iωt是全局相因子,在相关讨论中可以被忽略
2、量子态的相因子随着时间演化,会自行发生改变
最后
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