FFT代码详解

关于FFT原理部分的介绍，在网上已经有很多了，所以在此只讲代码实现部分的内容。

原理可以参考https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html

推荐看完它的原理解释再来看这里的代码解释

废话不多说，上代码（多项式乘法）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define N 4000001
using namespace std;
struct cp//手写复数类可以卡常
{
	double real,imag;
};
cp operator +(cp a,cp b)
{
	return (cp){a.real+b.real,a.imag+b.imag};
}
cp operator -(cp a,cp b)
{
	return (cp){a.real-b.real,a.imag-b.imag};
}

复数乘法：设$R_{a}$表示$a$的实部系数，$I_{a}$表示$a$的虚部系数

则$a*b$

$=(R_{a}+I_{a})*(R_{b}+I_{b})$

$=R_{a}*R_{b}+R_{a}*I_{b}+R_{b}*I_{a}+I_{a}*I_{b}$

因为$i^2=-1$

所以结果的实部为$R_{a}*R_{b}-I_{a}*I_{b}$

虚部为$R_{a}*I_{b}+R_{b}*I_{a}$

cp operator *(cp a,cp b)
{
　　return (cp){a.real*b.real-a.imag*b.imag,a.real*b.imag+a.imag*b.real};
}
double pi=acos(-1.0);
int lim,rev[N],len;
cp w[N],inv[N],a[N],b[N];
void get_w()
{
	for(int i=0;i<=lim;i++)
	{
		double angle=(double)i*2*pi/lim;
		w[i].imag=sin(angle);
		w[i].real=cos(angle);
		inv[i]=(cp){w[i].real,-w[i].imag};
	}
}

fft参数解释

$arr:$系数数组，在$fft$后变为点值数组，$arr_{i}$表示将$w^i_n$带入多项式后求得的值

$w:$预处理好的w单位根，在$fft$的时候正常带入即可，在$idft$的时候带入单位根的倒数（具体参见$idft$）void fft(cp *arr,cp *w)

{
	for(int i=0;i<lim;i++)
	{
		//处理每一个系数在分治过程中的实际位置；
		//if是因为只需交换一次，所以选择由小的一方来执行
		if(i<rev[i]) swap(arr[i],arr[rev[i]]);
	}
	for(int i=2;i<=lim;i*=2)//枚举区间长度
	{
		int l=i/2;
		for(int j=0;j<lim;j+=i)//枚举区间位置，这些区间是互不相交的
		{
			//枚举带入的单位根w(k,l)，k>=l的单位根也可以在这里一并求出
			for(int k=0;k<l;k++)
			{

　　

意义变更

在这里$arr$的意义从系数变为$w^k_i$的点值，$a_{j,j+i-1}$分别表示将$w^{0,i-1}_i$的点值

下面的的t相当于文首博客中的$w^k_n * A_2(w^k_{n over 2})$

				cp t=arr[j+k+l]*w[lim/i*k];//w(k,i)=w(k/i,1)=w(n*k/i,n)
				arr[j+k+l]=arr[j+k]-t;
				arr[j+k]=arr[j+k]+t;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].real);
	for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].real);
	lim=1;
	while(lim<=n+m)	len++,lim<<=1;//这样会比用cmath的log要快？
	for(int i=0;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	get_w();
	fft(a,w);
	fft(b,w);
	for(int i=0;i<=lim;i++) a[i]=a[i]*b[i];
	fft(a,inv);
	for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ", (int)(a[i].real/lim+0.5));
　　//除以lim的原因具体参见idft，0.5是为了四舍五入
}