傅里叶变换FFT负频率分析

Q1: 为什么数字滤波器$\pi$对应高频呢？

首先，此处的$\pi$对应的是数字频率，为了更清楚的说明这个问题，需要明确数字频率和模拟频率之间的关系

数字角频率和模拟角频率

频率区分

• 模拟频率 $f$，一般常用来表示信号频率
• 模拟角频率$\Omega$,其中$\Omega =2\pi f$
• 数字角频率$\omega$,其中$\omega =\Omega /f_s$

根据以上关系，则有频率为$f$的信号$s$其对应的数字频率$w$可表示为
$$w=\frac{2\pi f}{f_s}=\pi \frac{f}{f_s/2}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$f_s$代表采样频率。

奈奎斯特采样定理

根据基带信号的奈奎斯特采样定理，采样频率$f_s$必须高于信号最高频率$f_{max}$的2倍，即
$$f_s\ge 2f_m$$
为了表示简单，采样频频率的一半$f_{Nyquist}=f_s/2$又被称为奈奎斯特频率，它表示了采样后信号的有效范围，这意味着以$f_s$采样，则超过$f_s/2$的信号频率分量将不能被采到，即可表示为
$$f\le f_{max}=f_{Nyquist}=f_s/2$$

则式$(1)$中的比例项是个归一化因子，可定义$\gamma$表示为
$$\gamma =\frac{f}{f_s/2}$$
由上式可得：频率越低，$\gamma$越接近0，而频率越高，$\gamma$越接近1。将以上结论代入到$(1)$可得：

• 低频的频率成分的数字频率对应于$0$
• 高频的频率成分的数字频率对应于$\pi$

Q2:为什么FFT变换中前N/2点对应正频率，后N/2点对应负频率呢？

由于数字技术的广泛应用，离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transformation, DFT) 被广泛应用于信号的频谱分析等，而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transformation, FFT） 作为DFT算法的快速形式，一般频谱分析中，FFT更加常用。

要解释这个问题，需要从傅里叶变换到DFT变换的推导过程分析。

傅里叶变换

傅里叶变换一般指的是连续傅里叶变换，其定义如下：
$$X(w)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-jwt}dt\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

Q:既然有傅里叶变换了，为什么需要离散傅里叶变换呢？

从上式可以看出，傅里叶变换的正变换和逆变换都是正负无穷的连续积分，这尚可基于数学工具（微分和极限等）进行计算，但却不太方便在计算机上实现，因为计算机是个离散系统，因此就产生了离散傅里叶变换来解决这个问题，使用离散系统进行有限近似计算。

离散时间傅里叶变换DTFT

在离散系统中，连续时间信号$x(t)$要转换成离散时间信号，首先需要进行采样，采样频率为$f_s$,采样点时间间隔为 $T_s=1/f_s$,冲击采样序列为
$${\delta }_s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
注意：这里的$t$如果取得不是$T_s$的整数倍，则${\delta }_s(t)$的值为0，即${\delta }_s(t)=0$。
则取样之后的信号可表示为
$$x_s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-n{T}_s)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
对数字系统而言，我们只能获得采样后的离散序列$x\left[n\right]$

则采样后信号的傅里叶变换可表示为
$$X_s(w)={\int }_{-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-n{T}_s)e^{-jwt}dt\text{\hspace{1em}(2.4)}$$
交换积分和求和次序可得
$$X_s(w)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-n{T}_s)e^{-jwt}dt\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

由于$\delta (t)$的筛选性
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0)\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
则可得
$$X_s(w)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)e^{-jwn{T}_s}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$
上式即为离散时间傅里叶变换。

离散傅里叶变换DFT

由式$(2.6)$可知，离散时间傅里叶变换中的离散时间信号是一个无线长的序列，其范围为$\left[-\infty ,\infty \right]$。

DFT的离散性与周期性

根据傅里叶变换中离散性与周期性的性质：

$$离散\leftrightarrow 周期$$

• 时间离散，则频域周期
• 时域周期，则频域离散

因此式$(2.6)$中的无限长的序列所对应的DTFT变换所得到的频谱是连续的。

然而，连续的频谱仍然不适合计算机处理，因此考虑将频率进行离散化。为了实现频谱的离散，必须考虑将时域信号变成周期信号，因此只能进行部分截断，并将其进行周期延拓至周期信号。

考虑将无限长的离散时间信号进行阶段至$N$个采样点，然后将这个$N$个采样点进行周期延拓，称为周期信号，此时其频谱为离散频谱。此时延拓后的周期信号的周期$T$可表示为
$$T=N{T}_s$$
频率$f$为
$$f=\frac{1}{T}$$

则在一个周期$T$内，周期信号$x\left[n\right]$可表示为
$$X\left[kw\right]=\frac{1}{T}{\int }_0^T\sum _{n=0}^{N-1}x(t)\delta (t-n{T}_s)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}dt$$
简化可得
$$\begin{gathered} X\left[kw\right]=\sum _{n=0}^{N-1}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)\delta (t-n{T}_s)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}dt \\ =\frac{1}{T}\sum _{n=0}^{N-1}x(n{T}_s)e^{-j\frac{2\pi }{T}kn{T}_s} \end{gathered}$$

考虑到信号周期$T$与采样点周期$T_s$的关系$T=N{T}_s$，则上式可表示为
$$X\left[kw\right]=\frac{1}{T}\sum _{n=0}^{N-1}x(n{T}_s)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$
则DFT可被简化为
$$X\left[k\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$

定义数字频率$w$为
$$f=2\pi f=\frac{2\pi }{T}$$
考虑到信号周期$T$与采样点周期$T_s$的关系，则上式可表示为
$$w=2\pi f=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{N{T}_s}=2\pi \frac{f_s}{N}$$
其中，项$f_s/N$ 可表示为频谱的分辨率。
则有采样信号的频率$w_{sig}=kw$为
$$w_{sig}=kw=2\pi k\frac{f_s}{N}$$
其中$k$表示频率分量的索引。

根据奈奎斯特采样定理，则采样信号的有效频率满足$w_{sig}\le \frac{1}{2}{w}_s=\pi f_s$约束。 接下来，对DFT输出的N点频率进行分析：

• $2\pi k\frac{f_s}{N}\le \pi f_s$, 可得$k\le N/2$,此为前一半的DFT的输出，对应正频率
• 当$k>N/2$时，由于旋转因子$e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$的周期性，则有
  $$e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}=e^{-j(\frac{2\pi }{N}kn-2n\pi )}=e^{-j2\pi \frac{k-N}{N}n}$$
  其中$-\frac{N}{2}\le \frac{k-N}{N}\le 0$.因此后$N/2$个点对应负半轴的频率。

采样定理

首先需要指出的是，现实世界中的信号均为实信号，而实信号的傅里叶变换，其正频率和负频率部分的幅值相同，而相位是相反的。

根据采样定理，信号的最高频率不应超过采样频率的一半，则信号的频谱不应超过$f_s/2$, 因此实信号的傅里叶变换可以$f_s/2$进行分割，

傅里叶变换所表示的含义就是不同频率分量的加权和

Q3: 频谱画图时的注意事项

绘制单边谱

什么是傅里叶变换的单边谱呢？

绘制双边谱

什么是傅里叶的双边谱呢？

单边谱和双边谱的区别

fftshift函数的作用以及为什么需要该函数

为了将$[N/2,N]$点对应的频谱搬移到$[-N/2,0]$的位置，以展示真实的信号频谱。

最后

以上就是无情月饼为你收集整理的傅里叶变换FFT负频率分析傅里叶变换FFT负频率分析的全部内容，希望文章能够帮你解决傅里叶变换FFT负频率分析傅里叶变换FFT负频率分析所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。