00摘要

环岛元素是智能车比赛中较难处理的元素之一。比赛要求智能车能检测到环岛并从入口驶入，在绕行约 270°后驶出环岛，其中，能否高响应、高鲁棒性地检测环岛是后续进出环岛等步骤的基础。本文根据计算机视觉中的多视图几何学证明了环岛椭圆投影的存在，使用优化的最小二乘法拟合法并结合相关限制条件以识别环岛。

01引言

环岛元素是智能车比赛中较难处理的元素之一，由于车身在行驶过程中存在不确定性，故难以保证稳定识别效果。如图 1-1 与图 1-2 所示。

本文分析了传统电磁识别与摄像头识别环岛的优点和缺点，首先证明了环岛椭圆投影的正确性，然后此基础上提出了一种基于椭圆拟合的环岛识别方法，通过拉格朗日算子优化最小二乘误差函数使其最小化，并将结果转化为特征向量的形式。最后通过仿真和实验验证了此环岛识别方案的性能，并给出方案评价与可进一步研究的方向。

02现状和方法

从信息获取的不同方式上来说，环岛检测方案可以分为摄像头识别和电磁识别。

2.1 电磁识别

智能车大赛道路中先布置了通有 20kHz、100mA 交变电流的中心电磁引导线，频率范围 20k±1kHz，电流范围 100±20mA。由于电磁引导线完全绕行与环岛，在环岛圆与赛道的交点处可等效为两倍电磁场，故可在智能车前支架配置

电感检测装置以检测智能车是否到达环岛入口处，即点 B 处。若电磁测量值约为正常行驶时的两倍，可置入环标志位。

此方案的缺点在于滞后检测效应。当通过摄像头正常寻迹时，由于车身到入环点才能检测到环岛，车辆在 A、B 点之间时，由于左侧赛道缺失，智能车会往左侧偏移，随后因扫描到环岛内沿而校正回来，该过程使智能车震荡，导致行驶

到 B 点处位置可能发生偏移，导致电感检测失败。此外，对于摄像头为主要寻迹传感器的智能车，多加电磁传感器使系统更加冗余复杂。

2.2 摄像头识别

一种常规的，利用摄像头进行环岛入口识别的方法如下。

（1） 右侧赛道突然变宽，左侧赛道正常，标志位置为 1。
（2） 右侧赛道丢线，左侧赛道正常，标志位置为 2。
（3） 右侧赛道由宽变窄，随后又逐渐变宽，左侧赛道不变，标志位置为 3。
（4） 右侧赛道再次丢线，标志位置为 4。
（5） 若标志位等于 4，则识别到环岛。

该方案计算量较小，但仍然存在滞后检测效应，智能车会在区间 2 处小幅度右转，影响后续过程的判断过程。除此之外，该方案为流程化方案，若在判断过程中有一个步骤意外出错都无法正确判断为环岛入口，导致智能车无法入环甚至冲出赛道。

03环岛椭圆投影

对椭圆的投影进行建模，如下图所示。将P平明的圆投影到H平面。设P平面的椭圆长半轴长度为A，短半轴的长度为B。P平面与H平面的夹角为$\alpha$。

取 $0^0<\alpha <90^0$。于P平面建立笛卡尔坐标系XOY，椭圆长轴在X轴上，椭圆短轴在Y轴上，线段OO1的长度为L。可以平面P上的椭圆方程为：

一束平行光以$O_1{o}_1$的方向照烧，是P平面椭圆映射在H平面上，形成椭圆o1。

在平面H上建立笛卡尔坐标系，oy与OY相重合，OX投影于ox，椭圆上一点M(X,Y)投影到m(x,y)，可知两平面的坐标系关系为：

联立C-1与C-2，得：

令$$m=A\cdot \cos \alpha ,n=B,p=L\cdot \cos \alpha$$

将C-3记作：

显然，C-4为椭圆方程，即平面P上的椭圆经过平行光投影后仍然是椭圆。

特殊的，当平面P上的椭圆为圆时，有：$L=0,A=B=R$，则C-3为：

令$m^{\prime }=R\cdot \cos \alpha ,n^{\prime }=n$，平面H上的投影为：
$$\frac{x^2}{m^{\prime 2}}+\frac{y^2}{n^{\prime 2}}=1$$

显然，当$\cos \alpha \ne 1$时，$m^{\prime }\ne n^{\prime }$，该解析式描述的为椭圆。

对于环岛元素，设内环岛边缘为平面P上的圆。自然光线在P平面上的发生反射。由于物象距离较远，反射光可近似为平行光。根据摄像机的真空成像模型，反射光在详平面成像，即图像平面为H平面。因此，只需验证内环岛边缘微椭圆即可。

04最小二乘拟合

设椭圆一般方程为：
$$F\left(a,x\right)=a\cdot x=a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$$

其中，
$$a={\left[a,b,c,d,e,f\right]}^T$$

$$x={\left[x^2,xy,y^2,x,y,1\right]}^T$$

对于一个待拟合的离散点集合，$X_i=\left(x,y\right)$，$F\left(a,X_i\right)$表示点Xi到椭圆$F\left(a,x\right)$的几何距离。

最小二乘法的目标是求取使得李散掉的几何距离最短的a，即最小化：
$$D_a=\sum _{i=1}^{N}F{\left(a,X_i\right)}^2$$

由于环岛内边缘投影为椭圆，而F(a,x)为广义圆锥曲线一般表达式，需要表示为添加约束条件，以保证你和结果仅为椭圆。即：
$$4ac-b^2=1$$

为了表达方便，将前面方程吧粗歘在：

$$a^{T}Ca=1$$

其中：
$$c=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccccc}0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\end{array}\right]$$

故问题转换为最小化误差函数：
$$E={\Vert Da\Vert }^2$$

约束条件为：$$a^{T}Ca=1$$

其中矩阵：$$D=\left[X_1{X}_2\cdots X_N\right]$$

对于一个离散点：
$$X_i=\left[x^2,xy,y^2,x,y,1\right]$$

根据拉格朗日乘子法，求解$z=f\left(x,y\right)$在条件$\varphi \left(x,y\right)=1$下的极值，构造Lagrange函数：
$$L\left(x,y,\lambda \right)=f\left(x,y\right)+\lambda \varphi \left(x,y\right)$$

令：

求出x,y,lambda，可以得到：
$$2D^{T}Da-2\lambda Ca=0$$

令$D^{T}D=S$，则有：
$$Sa=\lambda Ca$$

由于S为实对称矩阵，C为正定矩阵，故求解是为求解广义特征值问题。C正定，用$C^{-1}$做成上式，可以得到：
$$C^{-1}Sa=\lambda a$$

令$p=C^{-1}S$则：
$$pa=\lambda a$$

所以只需要求解上式的特征向量a即可。根据数值分析幂法可求。

05限制条件

根据椭圆一般方程：

$$F\left(a,x\right)=a\cdot x=a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$$

可的长半轴长度平方：
$$A^2=\frac{2\left(a{X}_c^2+c{Y}_c^2+b{X}_c{Y}_c-1\right)}{a+c+\sqrt{{\left(a-b\right)}^2+b^2}}$$

其中椭圆几何中心：
$$X_c=\frac{be-2cd}{4ac-b^2},Y_c=\frac{bd-2ae}{4ac-b^2}$$

根据世纪环岛的映射特点，限定如下识别条件：
（1）环岛映射非长扁椭圆，约束为$0.2<\frac{A}{B}<5$。
（2）椭圆几何中心在左上侧，或者右上侧，约束为$Y_C>\frac{H}{2}$，H为图像高度；
（3）以右环岛为例，为保证提前识别，约束为右下侧出现环岛尖角。

06实验结果

以图C-2为计算示例，取内环岛边缘点获取坐标。

使用MATLAB 仿真得到椭圆方程为：

$$F\left(a,x\right)=0.00154x^2-0.019x\cdot y-0.156x$$$$+0.195\cdot y^2-3.390y+38.870$$

椭圆参数为：
$$A=30.537,B=5.099,X_c=150.053,Y_c=15.788$$

07总结和展望

本文提出了一种基于椭圆拟合的环岛识别方法，相比于传统的摄像头识别与电感识别方法，该方法有以下特点。

（1） 无需流程式判断，降低整体误判断概率。

（2） 具有远前瞻特性，以免智能车因丢线而误转向。

（3） 利用最小二乘的结果代替了程序迭代过程，提高了运算速度。

通过实验分析研究表明，本文的方案有较快的运算速度、较强的棒性，不过仍有许多需要改进的地方，可在本文的基础上进行以下深入研究。

（1） 寻找更好的求解特征向量方法，进一步加快整体运算速度。

（2） 由于摄像机像素较小，对于较小的椭圆难以正确拟合与判断，可使用更高素质的摄像机。

（3） 由于车身位置变化，导致稳定寻找内环岛边缘区位置有一定困难，需要寻找更好的搜索方法。

08参考文献

[1] 彭慧敏. 平面斜截正圆锥截交线为椭圆时投影曲线分析. 西安建筑科技大学学报: 自然科学版, 1998. 30(2): 第189-191页.

[2] 莫章金. 椭圆的投影及其应用. 重庆建筑高等专科学校学报, 1999. 9(2): 第28-31页.

[3] Fitzgibbon, A., M. Pilu and R.B. Fisher, Direct least square fitting of ellipses. IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 1999. 21(5): p. 476-480.

[4] Hal?r, R. and J. Flusser. Numerically stable direct least squares fitting of ellipses. 1998: Citeseer.

[5] 李成章, 黄玉民. 数学分析. 上北京: 科学出版, 1999.

[6] Trefethen, L.N. and D. Bau III, Numerical linear algebra. Vol. 50. 1997: Siam.

[7] 封建湖. 数值分析原理. 2001: 科学出版社.

最后

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