离散数学复习---第九章 代数系统【全概念版】

目录

9.1 二元运算及其性质

9.2 代数系统

 9.3 代数系统的同态与同构

定义9.2 设S为集合，函数f：SSS称为S上的二元运算，简称为二元运算。

定义9.2 设S为集合，函数f：SS 称为S上的一个一元运算，简称为一元运算。

定义9.3 设  为S上的二元运算。如果对于任意的x，y，z∈S都有

x  y = y  z

 则称运算在S上是可交换的，或者说运算在S上适合交换律。

定义9.4  设  为S上的二元运算。如果对于任意的x，y，z∈S都有

（x  y） z = x  (y  z)

 则称运算在S上是可结合的，或者说运算在S上适合结合律。

定义9.5  设  为S上的二元运算。如果对于任意的x∈S都有

x  x = x

 则称该运算适合幂等律。

如果S中的某些x满足x  x = x，则称x为运算的幂等元。易见如果S上的二元运算 适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元。

定义9.6 设  和  是S上的两个二元运算，如果对任意的x，y，z∈S有

x  (y  z) = (x  y)  (x  z)

 (y  z)    x = (y  x)  (z  x)

则称运算   对  是可分配的，或者说   对   适合分配律。

定义9.7 设   和  是S上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的x，y都有

x  (x  y) = x

x   (x  y) = x

 则称  和  满足吸收律。

定义9.8 设  为S上的二元运算，如果存在(或)，使得老夫i任何x属于S都有

  x = x     (或x   = x)

 则称(或)是S中关于 的一个左单位元（或右单位元）。若e关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于 的单位元，单位元也可以称作幺元。

 定理9.1 设  为S上的二元运算，和分别为  运算的左单位元和右单位元，则有

  =  = e

且e为S上关于  的唯一的单位元。

 定义9.9 设  为S上的二元运算，若存在元素(或)∈S，使得对于任意的x∈S有

   x =    (或x   = )

 则称(或)是S上关于  运算的左零元（或右零元）。若∈S关于  运算既是左零元又是右零元，则称为S上的关于  运算的零元。

定理9.2 设  为S上的二元运算，和分别为  运算的左零元和右零元，则有

  =  = 

且 是S上关于   运算的唯一的零元。

 定理9.3 设  为S上的二元运算，e和分别为  运算的单位元和零元。如果S至少有两个元素，则e≠。

 定义9.10 设 为S上的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S如果存在∈S（或∈ S），使得

  x = e   （或x  = e）

 则称（或）是x的左逆元（或右逆元）。若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y是x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。

定理9.4 设为S上的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S如果存在左逆元和右逆元，则有

且y是x的唯一的逆元。

 定义9.11 设为S上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈S，满足以下条件：

（1）若x  y = x  z且x ≠ ，则y = z;

（2）若y  x = z  x且x ≠ ，则y = z;

那么称 运算满足消去律，其中（1）称作左消去律，（2）称作右消去律。

9.2 代数系统

定义9.12 非空集合S和S上k个一元或二元运算 ，，···，组成的系统称作一个代数系统，简称为代数，记作 <S，，，···，>。

定义9.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，组成这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。

       在规定了一个代数系统的构成成分，即集合、运算以及代数常数以后，如果再对这些运算所遵从的算律加以限制，那么满足这些条件的代数系统就具有完全相同的性质，从而构成了一类特殊的代数系统。例如，代数系统 V=<S，>，其中是一个可结合的二元运算，就代表了一类特殊的代数系统——半群。许多具体的代数系统，如<Z，+>，<R，+>，<(R)，> ，<P(B)，U>等都是半群。又如代数系统 V=<S，，>，其中和是二元运算，并满足交换律、结合律、幂等律和吸收律，那么代表了另一类特殊的代数系统——格。

定义9.14 设V = <S，，，···，>是代数系统，B  S。如果B对，，···，都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<B，，，···，>是V的子代数系统，简称为子代数。有时将子代数系统简记为 B。

定义9.15 设 =<A，>和  =<B，>是同类型的代数系统，和为二元运算，在集合AB上定义二元运算如下。

 <，>，<，>∈AB

有

<，>  <，> = <，>

称 V=<AB，>为与的积代数，记作。这时也称和为V的因子代数。

定理9.5 设=<A，>和=<B，>是同类型的代数系统， = <AB，>是它们的积代数。

(2)如果  和  ( 和 )分别为  和  运算的单位元(零元)，那么<，>(<，>)也是  运算的单位元(零元)；

 9.3 代数系统的同态与同构

定义9.16 设 V=<A，>和 V=<B，>是同类型的代数系统f：AB，且x,y∈A有

f(x  y) = f(x)  f(y)  

则称f是  到 的同态映射，简称为同态。

        根据同态映射的性质可以将同态分为单同态，满同态和同构，即：f 如果是单射的，则称作单同态；如果是满射的，则称作满同态，这时称是的同态像，记作 ~ ；如果是双射的，则称作同构，也称代数系统同构于，记作。
自同态。类似地,可以定义单自同态、满自同态和自同构。

 本文由作者参考《离散数学（第2版）屈婉玲 著》 整理而成，仅用于期末考试复习用。

最后

以上就是如意毛衣为你收集整理的离散数学复习---第九章 代数系统【全概念版】的全部内容，希望文章能够帮你解决离散数学复习---第九章 代数系统【全概念版】所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。