离散数学 第十四章 代数系统

目录

14.1 二元运算及其性质

14.2 代数系统的定义与特异元

14.2.1 代数系统

14.2.2 特异元

14.2.3 半群和含幺半群

14.1 二元运算及其性质

定义：设S是一个非空集合，映射（或函数）称为S上的n元代数运算—>n元运算

⭐运算性质

#定义：设“·”是一个S上的二元代数运算

        ①封闭性：

        ②交换律：

        ③结合性：

        ④幂等的：

#定义：设是集合S上的两个二元运算，对

 ①关于在S上是可分配的——>且

 ②与满足吸收律——>，是可换运算，且

14.2 代数系统的定义与特异元

14.2.1 代数系统

#定义：设S是一个非空集合，f1,f2,..,fm分别是定义在S上的运算，称集合S和f1,f2,..,fm所组成的系统称为一个代数系统。

判断条件：

        ①集合S非空

        ②运算关于S满足封闭性

14.2.2 特异元

#定义：设是集合S上的二元运算，是一个代数系统

        ①单位元（幺元）：都有：

        ②零元：都有：

        ③幂等元：

#定义：设是集合S上的二元运算，是一个代数系统，e是的幺元，若对,则称b是a的逆元。

注：不是每个元都是可逆的

⭐特异元的性质

定理：设是一个代数系统

1）若存在幺元，则该幺元唯一

 2）若存在零元，则该零元唯一

 3）若满足结合律且e是的幺元，则对,若a存在逆元，则该逆元唯一

14.2.3 半群和含幺半群

#定义：设是一个二元代数系统：

1）当是封闭的，称为广群

2）封闭+可结合——>半群

3）封闭+可结合+幺元e——>含幺半群

4）封闭+可结合+幺元e+每个元素都有逆元——>群

最后

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