集合代数

集合的基本概念

集合的表示

集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如：
2－1＝0的实数解集合；
N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
列元素法和谓词表示法，前一种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如
Z={0，±1，±2，…}
R∧x²－1＝0}
2－1＝0的实数解集。许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。

集合之间的关系

下面考虑在同一层次上的两个集合之间的关系。

定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作BA。
NZQRC，但ZN。

集合的运算

集合的基本运算

集合的基本运算有并，交，相对补和对称差。 定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A－B分别定义如下：








不相交的。例如B和C是不相交的。
1∪A₂∪…∪A_n＝{x|x∈A₁∨x∈A₂∨…∨x∈A_n}
1∩A₂∩…∩A_n＝{x|x∈A₁∧x∈A₂∧…∧x∈A_n}

1∪A₂∪…∪A_n
1∩A₂∩…∩A_n

1∪A₂∪…
1∩A₂∩…

有穷计数集

使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。如果交集的数字是未知的，可以设为x。根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为13，5，10和9人，其中同时会英语和日语的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是4人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数。
解 令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语言的分别为y₁，y₂和y₃人。将x和y₁，y₂，y₃填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。

广义交和广义并

以上定义的并和交运算称为初级并和初级交。下面考虑推广的并和交运算，即广义并和广义交。定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为∪A。符号化表示为
例6.4 设　 A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}},B＝{{a}},C＝{a,{c,d}} 则 　　　　　　∪A＝{a,b,c,d,e,f} 　　　　　　∪B＝{a} 　　　　　　∪C＝a∪{c,d} 　　　　　　∪＝ 　　根据广义并定义不难证明，若A＝{ A₁,A₂,…,A_n}，则∪A＝A₁∪A₂∪…∪A_n。
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
1,A₂,…,A_n}，则∩A＝A₁∩A₂∩…∩A_n。

集合恒等式

基本集合恒等式

下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。

• 幂等律 　　
• • A∪A＝A　　　　　　　　　　　　　　　(6.1)
  • A∩A＝A　　　　　　　　　　　　　　　(6.2)
• 结合律 　　
• • (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)　　　　　  　　     　(6.3)
  • (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)　　　　　       　　　(6.4)
• 交换律 　　
• • A∪B＝B∪A　　　　　　　   　　　　　  　(6.5)
  • A∩B＝B∩A　　　　　　　     　　　　　　(6.6)
• 分配律 　　
• • A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)　      　　  　　  (6.7)
  • A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)　　         　　　 (6.8)
• 同一律 　　
• • A∪＝A　　　　　　  　　　　　　　 　(6.9)
  • A∩E＝A　　　　　　　　   　　　　　　　(6.10)
• 零律 　　　
• • A∪E＝E　　　　　　　　　　　 　　　 　(6.11)
  • A∩＝　　　　　　　　　  　　　　 (6.12)
• 排中律 　　
• • A∪～A＝E　　　　　　　　　　　　　  　(6.13)
• 矛盾律 　　
• • A∩～A＝　　　　　　　　　　　　   　(6.14)
• 吸收律　　
• • A∪(A∩B)＝A　　　　　　　　　　　　 (6.15)
  • A∩(A∪B)＝A　　　　　　　　　　　　  (6.16)
• 德摩根律　 
• • A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)　　　　　　  (6.17)
  • A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)　　　　　　  (6.18)
  • ～(B∪C)=～B∩～C　　　　　　　　　　  (6.19)
  • ～(B∩C)=～B∪～C　　　　　　　　　　  (6.20)
  • ～＝E　　　　　　　　　　　　　　　(6.21)
  • ～E＝　　　　　　　　　　　　　　　(6.22)
• 双重否定律
• •  ～(～A)＝A　　　　　　　　　　　 　　 (6.23)

证明技巧一
例6.9 证明等式6.27，即A－B＝A∩～B。
证　对于任意的x，
例6.10 证明(A－B)∪B＝A∪B
证

习题

1.选择适当的谓词表示下列集合：1＝{x|x是十进制的数字}2＝{x|x＝2∨x＝5}3＝{x|x＝x∈Z∧3<x<12}4＝{x|x∈R∧x²－1＝0∧x>3}5＝{<x，y>|x，y∈Z∧0≤x≤2∧-1≤y≤0}

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最后

以上就是纯情小兔子为你收集整理的集合代数的全部内容，希望文章能够帮你解决集合代数所遇到的程序开发问题。

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