连续信号与离散信号---采样定理1. 采样定理的作用2. 采样定理3. 连续时间信号采样4. 离散时间信号采样

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1. 采样定理的作用

采样定理的重要性在于它在连续时间信号与离散时间信号之间所起的桥梁作用。

根据采样定理可知，在一定条件下，一个连续信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本来表示，并且可以用这些样本值把该信号全部恢复出来。

在很多方面，离散时间信号的处理更灵活方便，因此往往比处理连续时间信号更为可取。借助采样定理：可以利用采样先把一个连续时间信号变换为离散时间信号，再用一个离散时间信号系统将该离散信号进行处理，之后再把它变换回到连续时间中。

设是某一个带限信号，在时，。如果，其中，那么就唯一地由样本所确定。

已知这些样本值，就能用如下方法重建：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来地样本值；然后将该冲激串通过一个增益为，截止频率大于而小于的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是。

将连续信号以时间间隔进行周期采样，，则采样后的信号为，用离散时间信号表示为。采样后的信号在频域上体现为频谱的周期重复；对于，频谱的重复周期为；对于，频谱的重复周期为（注意：）。

在连续时间到离散时间的处理中，我们面临着既要在连续时间又要在离散时间处理傅里叶变换，因此在这里用表示连续时间频率变量，用表示离散时间频率变量。根据傅里叶变换公式，有：

因此，的关系就是从到的转换过程中，频率轴有一个的尺度变换，时间轴上有一个的尺度变换。例如，连续时间信号，则采样（采样频率）后的离散时间信号为；其中，，。

将离散信号以间隔进行采样，，将抽样后的样本重新用表示，该过程也称为抽取。

令，则有

因此抽样的效果就是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带部分。如果这个原始序列经由连续时间信号采样而得到，抽取过程就可以看成连续时间信号上将采样率减小为原来的的结果，抽样的过程往往也称为减采样。

增采样或内插是抽样的逆过程，只需在的每个序列值之间插入个幅度为零的序列值即可。

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