三角波为什么经过低通滤波器变为正弦波_如何由方波产生二倍频的正弦波？看清华大学同学们的脑洞...

78 阅读 0 评论 52 点赞

课堂练习题

今天信号与系统课堂上，通过网络课堂和同学们讨论了一个来自于郑君里教授在其《教与写的记忆》书中记载的他当年在课堂上与同学们讨论的问题。这个问题就是如何设计一个电路系统，由对称方波(占空比为50%的方波)作为输入，产生一个频率为对称方波两倍频的正弦波。

现在课程讲完了第三章，信号的频谱分析(傅里叶变换)，郑君里教授的这个课堂讨论题目比较适合来阐述信号的波形与频谱的关系、线性是不变系统的特性、系统的频率特性等问题。

郑老师当年是面对电子工程系的同学来出的这道题目。大部分的同学在模拟电路、电路原理、高频电子线路课程中学习过选频放大电路。使用它可以将蕴含在信号中的某个单频信号进行放大输出。

比如对于一个周期信号，它的交流分量包括有基波以及各阶高次谐波，就可以使用选频电路来获得周期信号中特定的高次谐波的正弦信号。这也是通讯电路中常见到的电路设计。

当然。在这个问题中，郑君里教授是预先埋伏了一个“坑”：那就是对于一个对称方波周期信号，它具有特殊的“奇谐对称”特性，它的谐波中只包含有奇次谐波，也就是只有1,3,5,7,.....次谐波，所以直接使用前面的选频放大电路对方波信号进行选频放大是无法产生对应的二倍频正弦信号的。

因此，在设计的电路中需要具有一个电路环节，能够从方波信号中产生原本不存在的二次谐波。这种能够“无中生有”产生新的频率的电路不能够是“线性时不变”系统。因为线性时不变系统的输出信号中无法产生与输入信号不同频率的信号。

经过郑老师的提醒，班上的同学也纷纷给出了不同思路的解决方案。

这些方案可以分为三大类：第一大类： 先通过选频电路获得信号的基频正弦信号，然后在通过整流(半波整流、全波整流)电路、平方电路形成带有二次谐波的周期信号，最后在通过选频电路获得二倍频正弦信号；

第二大类： 通过对普通的RC微分电路和积分电路的改造，比如在电阻R上增加非线性的二极管器件，或者对输出的信号进行二极管全波整流等，来产出非“奇谐对称”的信号，然后在使用选频电路获得二倍频正弦信号；

第三大类： 直接使用数字信号电路，比如单稳态触发电路、脉冲延迟电路、异或电路等，产生二倍频的脉冲信号，或者非奇谐对称的脉冲信号，然后在通过选频电路获得二倍频正弦信号。

今天在课堂上，自动化系的同学们纷纷给出了自己的设计方案草图，其中有正确的，也有错误的，下面逐一分析一下：

这个电路属于前面第三类方案。其中的延迟电路属于线性电路，异或部分属于非线性电路，新的频率也由此产生。根据我的要求，同学没有继续将后级的选频放大电路给出。

这个属于前面第二类解决方案。这个方案没有在电阻R上并联非线性器件二极管，而是在电容上并联，这同样也能够输出非奇谐对称的波形。如果大家感兴趣可以绘制出该电路在占空比为50%的方波驱动下的输出波形。

后期通过选频电路便可以获得二倍频的正弦信号了。

这个方案也属于前面第二大类的方案。

这里面有一个特别的地方，即不能够直接在原来的方波信号上进行整流。在原题中所给的方波是0~5V的方波，如果直接全波整流，所获得的仍然是对称的方波信号。因此这里的RC微分电路是需要的。

这个答案属于前面第一大类方案。同学答案中并没有绘制出平方电路的实现。

实际上，对基频正弦波进行平方运算，根据三角函数恒等式，在输出的结果中就包含有一个直流分量和一个二倍频的正弦信号了，所以最后只需要在添加一个RC隔直电路便可以输出所需要的二倍频正弦信号。

这个方案就显得比较奇怪了。如果课堂时间允许，我可能会请提供这个答案的同学通过视频给大家把它的想法的细节讲清楚。

在他的电路中，方波信号通过一对极性相反的并联二极管之后再去微分，由于给定的方波是0~5V的信号，所以前面的并联二极管电路实际上对信号不起作用。所以最终的信号是对方波取微分。

但微分电路是线性定常电路，并不能够改变输入信号的频率分量，所以这个电路存在缺陷。

当然，如果他的电路中的二极管是作用在RC微分电路中的电阻或者电容上，情况就变成了前面第三类答案了。

通过T触发器完成对输入信号的二分频。输出频率为原来方波频率一半的方波信号。输出的信号也是严格的占空比为50% 的方波信号，其中只包括基波的奇次谐波，所以这个电路中也没有原来信号的二倍频信号。

这个答案属于前面第一大类方案，方案是正确的。

其中文字描述了改变方波的占空比，然后在通过一个二阶的RC低通滤波器来获得信号中低频谐波信号。这个方案中存在两个问题：

只是通过文字描述来改变方波的占空比，思想是对的，将方波的占空比调整到非50%即可改变信号的“奇谐对称性”，但问题在于没有给出具体的实现电路。估计该同学的数字电路课程没有学习好；
使用二阶RC电路只能获得信号的低频信号，其中应该是基波成分更大，二次谐波成分次之，所以并不是二倍频的正弦信号。应该将RC低通滤波器修改成LC选频放大电路。