一、 并集

并集 : $A,B$ 是两个集合 , 由 $A$ 和 $B$ 所有的元素组成的集合 , 称为 $A$ 与 $B$ 的并集 ;

记做 : $A\cup B$ , $\cup$ 称为 并运算符 ;

符号化表示 : A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } A cup B = { x | x in A lor x in B } A∪B={x∣x∈A∨x∈B}

初级并 : 两个集合的并运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级并 ;

$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 是 $n$ 个集合 , 则 A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n = { x ∣ ∃ i ( 1 ≤ i ≤ n   ∨   x ∈ A i ) } A_1 cup A_2 cup cdots cup A_n = { x | exist i ( 1 leq i leq n lor x in A_i ) } A1​∪A2​∪⋯∪An​={x∣∃i(1≤i≤n ∨ x∈Ai​)} , 记作

$$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$$

$A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots$ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :

$$\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i=A_1\cup A_2\cup \cdots$$

二、 并集示例

集合 A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 10 } A = { x in N | 5 leq x leq 10 } A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B = { x ∈ N ∣ x ≤ 10 ∨ x 是 素 数 } B = { x in N | x leq 10 lor x 是素数 } B={x∈N∣x≤10∨x是素数}

A ∪ B = { 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } A cup B = { 2, 3, 5 ,6,7,8,9,10 } A∪B={2,3,5,6,7,8,9,10}

三、 交集

交集 : $A,B$ 是两个集合 , $A$ 和 $B$ 公共元素组成的集合 , 称为 $A,B$ 集合的交集 ;

记作 : $A\cap B$ , $\cap$ 称为 交运算符 ;

符号化表示 : A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } A cap B = { x | x in A land x in B } A∩B={x∣x∈A∧x∈B}

初级交 : 两个集合的交运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级交 ;

$A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 是 $n$ 个集合 , 则 A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n = { x ∣ ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n   →   x ∈ A i ) } A_1 cap A_2 cap cdots cap A_n = { x | forall i ( 1 leq i leq n to x in A_i ) } A1​∩A2​∩⋯∩An​={x∣∀i(1≤i≤n → x∈Ai​)} , 记作

$$\bigcap _{i=1}^n{A}_i=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$$

$A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots$ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :

$$\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i=A_1\cap A_2\cap \cdots$$

四、 交集示例

集合 A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 10 } A = { x in N | 5 leq x leq 10 } A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B = { x ∈ N ∣ x ≤ 10 ∧ x 是 素 数 } B = { x in N | x leq 10 land x 是素数 } B={x∈N∣x≤10∧x是素数}

A ∩ B = { 5 , 7 } A cap B = { 5, 7 } A∩B={5,7}

五、 不相交

不相交 : $A,B$ 两个集合 , 如果 $A\cap B=\varnothing$ , 则称 $A$ 和 $B$ 两个集合是 不相交 的 ;

扩展到多个集合 : $A_1,A_2,\cdots$ 是可数个集合 , 任意 $i\ne j$ , $A_i\cap A_j=\varnothing$ 都成立 , 则称 $A_1,A_2,\cdots$ 是互不相交的 ;

六、 相对补集

相对补集 : $A,B$ 两个集合 , 属于 $A$ 集合 而 不属于 $B$ 集合 的 全体元素组成的集合 , 称为 $B$ 对 $A$ 的相对补集 ;

记作 : $A-B$

符号化表示 : A − B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } A-B = { x | x in A land x notin B } A−B={x∣x∈A∧x​∈B}

七、 对称差

对称差 : $A,B$ 是两个集合 , 属于 $A$ 集合 而 不属于 $B$ 集合 , 属于 $B$ 集合 而 不属于 $A$ 集合 , 的 全体元素 , 组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的对称差 ;

记作 : $A\oplus B$

符号化表示 : A ⊕ B = { x ∣ ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∉ A ∧ x ∈ B ) } A oplus B = { x | ( x in A land x notin B ) lor ( x notin A land x in B ) } A⊕B={x∣(x∈A∧x​∈B)∨(x​∈A∧x∈B)}

对称差 与 相对补集 关系 : $A\oplus B=(A-B)\cup (B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$

$(A-B)\cup (B-A)$ : $A$ 对 $B$ 的相对补集 , 与 $B$ 对 $A$ 的相对补集 的 并集 ;

$(A\cup B)-(A\cap B)$ : $A,B$ 的并集 对 $A,B$ 交集的相对补集 ;

八、 绝对补集

绝对补集 : $E$ 是全集 , $A\subseteq E$ , 全集 $E$ 包含 $A$ 集合 , 称 $A$ 对 $E$ 的相对补集 为 $A$ 的绝对补集 ;

记作 : $\sim A$

符号化表示 : ∼ A = { x ∣ x ∈ E ∧ x ∉ A } sim A = { x | x in E land x notin A } ∼A={x∣x∈E∧x​∈A}

其中 $E$ 是全集 , $x\in E$ 为永真式 , 根据 命题逻辑 等值演算 的 同一律 , $1$ 合取 任何值 , 真值还是 任何值 本身 ;

因此 , 可以 去掉 合取联结词 前面的 $x\in E$ , 结果为 :

∼ A = { x ∣ x ∉ A } sim A = { x | x notin A } ∼A={x∣x​∈A}

九、 广义并集

广义并集 : $\mathcal{A}$ 是一个 集族 , 集族 $\mathcal{A}$ 中的全体 集合元素 的 元素组成的集合 , 称为 集族 $\mathcal{A}$ 的广义并 ;

记作 : $\cup \mathcal{A}$

符号化表示 : ∪ A = { x ∣ ∃ z ( x ∈ z ∧ z ∈ A ) } cup mathscr{A} = { x | exist z ( x in z land z in mathscr{A} ) } ∪A={x∣∃z(x∈z∧z∈A)}

广义并集示例 :

A = { { a , b } , { a , c } , { a , b , c } } mathscr{A} = { {a, b} , {a, c} , {a, b, c} } A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}

∪ A = { a , b , c } cup mathscr{A} = { a, b, c } ∪A={a,b,c}

十、 广义交集

广义交集 : $\mathcal{A}$ 是一个 集族 , 集族 $\mathcal{A}$ 中的全体 集合元素 的 公共元素组成的集合 , 称为 集族 $\mathcal{A}$ 的广义交 ;

记作 : $\cap \mathcal{A}$

符号化表示 : ∩ A = { x ∣ ∀ z ( z ∈ A → x ∈ z ) } cap mathscr{A} = { x | forall z ( z in mathscr{A} to x in z ) } ∩A={x∣∀z(z∈A→x∈z)}

广义并集示例 :

A = { { a , b } , { a , c } , { a , b , c } } mathscr{A} = { {a, b} , {a, c} , {a, b, c} } A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}

∩ A = { a } cap mathscr{A} = { a } ∩A={a}

十一、 集合运算优先级

第一类运算 ( 单目运算符 ) : 绝对补 , 幂集 , 广义交 , 广义并 ; 运算按照从左到右顺序运算 ;

第二类运算 ( 双目运算符 ) : 初级并 , 初级交 , 相对补 , 对称差 ; 按照括号结合顺序进行运算 , 没有括号按照从左右到顺序进行运算 ;

最后

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