离散数学-6 集合代数

1. 集合定义

集合没有精确的数学定义

理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集合的元素

常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有理数、实数、复数集合

2. 集合表示法

枚举法----通过列出全体元素来表示集合

谓词表示法----通过谓词概括集合元素的性质

实例：枚举法：自然数集合 N={0,1,2,3,…} 谓词法：S={ x | x是实数，x-1=0}

i. 集合的元素具有的性质

无序性：元素列出的顺序无关

相异性：集合的每个元素只计数一次

确定性：对任何元素和集合都能确定这个元素是否为该集合的元素

任意性：集合的元素也可以是集合

ii．元素与集合的关系隶属关系：或者

集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , , 

定义6.1 A B x ( xA xB )

定义6.2 A = B  A B B A

定义6.3 A B  A B A B

A ⊈ B  x ( xA xB )

定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合 实例： { x | xR x²+1=0 }

定理6.1 空集是任何集合的子集。 推论 是惟一的

定义6.5 幂集：给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，称为集合A的幂集，记为P(A)（或2^A）。幂集的符号化表示为P(A)={ x | x A }

实例：P()={}, P({})={,{}}

计数：如果 |A|=n，则 |P(A)|=2ⁿ.

定义6.6 全集 E：包含了所有集合的集合

全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集

外延公理 两个集合A与B相等当且仅当其元素相同，记作A = B。

平凡子集 任意一个非空集合A至少有两个子集，一个是空集Æ，另一个是它本身A，称为A的平凡子集。

定义 以集合为元素的集合称为集族。

定义3.8 给定集合A，由集合A的子集为元素组成的集合，称为集合A的子集族。A的所有子集族都是其幂集P(A)的子集。

初级运算,集合的基本运算有

定义6.7 并 AB = {x | xA xB}

交 AB = {x | xA xB}

相对补 AB = {x | xA xB}

定义6.8 对称差 AB = (AB)(BA)

定义6.9 绝对补 A = EA

并和交运算可以推广到有穷个集合上，即

A₁ A₂  … A_n = { x | xA₁xA₂  …xA_n}

A₁ A₂  … A_n = { x | xA₁ xA₂  … xA_n}

定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA xz )}

广义交 A= { x | z ( zA xz )}

广义运算的性质

(1) =，无意义

(2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x

(3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层）

(4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算

{A₁, A₂, … , A_n}=A₁A₂…A_n

{A₁, A₂, … , A_n}=A₁A₂…A_n

运算优先级的确定

1 类运算：初级运算È, , , ，

优先顺序由括号确定

2 类运算：广义运算和运算，

运算由右向左进行

混合运算：2 类运算优先于1 类运算

有穷集合元素的计数

1. 文氏图法

2. 包含排斥原理

定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的

元素构成子集A_i, 那么集合中不具有任何性质的元素数为

推论 S中至少具有一条性质的元素数为

集合恒等式

集合算律

1．只涉及一个运算的算律：

交换律、结合律、幂等律

2．涉及两个不同运算的算律：

分配律、吸收律

3．涉及补运算的算律：

DM律，双重否定

4．涉及全集和空集的算律：

补元律、零律、同一律、否定律

定理3.6 设A, B, C为任意的集合，集合运算满足以下所列规律。

（1）双重否定律 ~(~A)=A

（2）幂等律 A∪A=A，A∩A=A

（3）交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A

（4）结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

（5）分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

（6）吸收律 A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A

（7）德摩根律 A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)，A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)

~(A∪B)=~A∩~B，~(A∩B)=~A∪~B

~E=，~=E

（8）同一律 A∩E=A，A∪=A；

（9）零律 A∩=，A∪E=E

（10）排中律 A∪~A=E

（11）矛盾律 A∩~A=

定理3.7 设A, B, C是任意集合，则

（1）A A∪B，B A∪B

（2）A∩B A，A∩B B

（3）A−B=A∩~B

（4）A−B A

（5）(A−B)∪B =A∪B，(A∪B)−B =A−B

（6）若A C，B C，则A∪B C

（7）若A B，A C，则A B∩C

（8）若A B，则 ~B  ~A

定理3.8 对于任意集合A，B，C，

（1）AB=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)

（2）AB=BA

（3）AA=

（4）A=A

（5）~A~B=AB

（6）(AB)C=A(BC)

集合证明题

证明方法：命题演算法、等式置换法

命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式)

(1) 证XY

任取x， xX  … xY

(2) 证X=Y

方法一 分别证明 XY 和 YX

方法二

任取x，xX  … xY

注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分必要的

(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：

把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可

能是集合表达式.

(2) 判断AB的四种方法

若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现.

若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么"若P则Q"意味 AB，"P当且仅当Q"意味Ａ=Ｂ．

通过集合运算判断AB，即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真.

通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明

求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明如下：

(1) 化简给定的集合等式

(2) 求解方法如下：

• 利用已知的算律或者充分必要条件进行判断
• 先求必要条件，然后验证充分性
• 利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的证明方法加以验证

证明集合恒等式的方法有两种：

（1）根据定义进行证明，在叙述中采用半形式化的方法，证明中大量用到数理逻辑的等价式及推理规则。

（2）恒等演算，利用已有的集合恒等式证明新的恒等式.

最后

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