冲激函数和傅里叶变换

冲激函数具有很好的取样特性，使得其在信号处理、图像处理等方面有着广泛的应用. 在这边文章中，我们介绍冲激函数和它的傅里叶变换. 文章的内容主要参考Rafael C. Gonzalez和Richard E. Woods所著的《数字图像处理》.

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1. 冲激函数定义

定义1 连续变量$t$在$t=0$点处的冲激函数$delta(t)$定义为

$$delta(t)=begin{cases}infty, & t=0\ 0, & tneq 0end{cases}$$
其满足等式
$$int^{infty}_{-infty}delta(t)dt=1.$$

假设$f(t)$在$t=0$处是连续的，则冲激具有如下的取样特性

$$int^{infty}_{-infty}f(t)delta(t)dt=f(0).$$
更一般地，位于任意点 $t=t_0$的冲激表示为 $delta(t-t_0)$. 在这种情况下，取样特性为
$$int^{infty}_{-infty}f(t)delta(t-t_0)dt=f(t_0).$$

定义2 对于离散变量$x$，单位离散冲激函数$delta(x)$定义为

$$delta(x)=begin{cases}1, & x=1\ 0, & xneq 0end{cases}$$
其满足等式
$$sum^{infty}_{x=-infty}delta(x)=1.$$

离散冲激具有取样特性

$$sum^{infty}_{x=-infty}f(x)delta(x)=f(0).$$
更一般地，在 $x=x_0$处的取样特性为
$$sum^{infty}_{-infty}f(x)delta(x-x_0)=f(x_0).$$

定义3 冲激串$S_{Delta T}(t)$是无限多个分离的周期为$Delta T$的冲激之和，即

$$S_{Delta T}(t)=sum^{infty}_{n=-infty}delta(t-nDelta T)$$
其中，冲激 $delta(t)$可以是连续的或离散的.

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2. 傅里叶级数和傅里叶变换

2.1 傅里叶级数

令$i^2=-1$. 函数族${e^{i2pi kt/T}}^{infty}_{k=0}$在区间$[-frac{T}{2},frac{T}{2}]$上具有如下正交性

$$int^{frac{T}{2}}_{-frac{T}{2}}e^{i2pi nt/T}cdot e^{-i2pi mt/T}dt=begin{cases}T,& n=m\ 0,& nneq mend{cases}$$
据此，我们可以将周期为 $T$的函数$f(t)$表示为 傅里叶级数的形式.

定义4 假定函数$f(t)$为周期为$T$的连续函数，则$f(t)$可以表示为如下傅里叶级数形式

f(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/T

$$f(t)=sum^{infty}_{n=-infty}c_n e^{i2pi nt/T}$$
其中
$$c_n=frac{1}{T}int^{frac{T}{2}}_{-frac{T}{2}}f(t)e^{-i2pi nt/T}dt,quad n=0,pm1,pm2,dots$$ .

2.2 傅里叶变换

定义5 连续函数$f(t)$的傅里变换为

$$f(t)xrightarrow{mathcal{F}}F(mu)=int^{infty}_{-infty}f(t)e^{-i2pimu t}dt$$
相反地，给定 $F(mu)$，我们可以通过 傅里逆变换得到 $f(t)$
$$F(mu)xrightarrow{mathcal{F}^{-1}}f(t)=int^{infty}_{-infty}F(mu)e^{i2pimu t}dmu$$

由傅里叶变换和傅里叶逆变换的对称性，我们得到如下性质

性质1 >

$$f(t)xrightarrow{mathcal{F}}F(mu)xrightarrow{mathcal{F}}f(-t)$$

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3. 冲激和冲激串的傅里叶变换

3.1 冲激的傅里叶变换

位于原点的冲激函数$delta(t)$（见定义1）的傅里叶变换为

$$F(mu)=int^{infty}_{-infty}delta(t)e^{-i2pimu t}dt=int^{infty}_{-infty}e^{-i2pimu t}delta(t)dt=e^{-i2pimu 0}=e^{0}=1$$
类似地，位于$t=t_0$处的冲激$delta(t-t_0)$的傅里叶变换为
$$F(mu)=int^{infty}_{-infty}delta(t-t_0)e^{-i2pimu t}dt=int^{infty}_{-infty}e^{-i2pimu t}delta(t-t_0)dt=e^{-i2pimu t_0}$$

由前面的性质1 和冲激的性质，我们可以得到如下性质

性质2

$$mathcal{F}(e^{i2pimu t_0})=delta(-t+t_0)=delta(t-t_0)$$

3.2 冲激串的傅里叶变换

冲激串$S_{Delta T}(t)$（见定义3）是周期为$Delta T$的函数，可以表示为如下傅里叶级数（见定义4）

$$S_{Delta T}(t)=sum^{infty}_{n=-infty}c_n e^{i2pi nt/Delta T}$$
其中
$$c_n=frac{1}{Delta T}int^{frac{Delta T}{2}}_{-frac{Delta T}{2}}S_{Delta T}(t)e^{-i2pi nt/Delta T}dt$$
由于在区间$[-frac{Delta T}{2},frac{Delta T}{2}]$的积分仅包含位于原点的冲激$delta(t)$，因此
$$c_n=frac{1}{Delta T}int^{frac{Delta T}{2}}_{-frac{Delta T}{2}}S_{Delta T}(t)e^{-i2pi nt/Delta T}dt=frac{1}{Delta T}e^0=frac{1}{Delta T}$$
从而得到冲激串的傅里叶级数
$$S_{Delta T}(t)=frac{1}{Delta T}sum^{infty}_{n=-infty}e^{i2pi nt/Delta T}$$
进一步地，由性质2可知
$$mathcal{F}(e^{i2pi nt/Delta T})=delta(mu-frac{n}{Delta T})$$
因此，冲激串$S_{Delta T}(t)$的傅里叶变换$S(mu)$为
$$S(mu)=mathcal{F}(S_{Delta T}(t))=frac{1}{Delta T}sum^{infty}_{n=-infty}mathcal{F}(e^{i2pi nt/Delta T})=frac{1}{Delta T}sum^{infty}_{n=-infty}delta(mu-frac{n}{Delta T})$$
这个结果说明，周期为$Delta T$的冲激串的傅里叶变换仍为冲激串，其周期为$frac{1}{Delta T}$.

最后

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