一阶系统开环传递函数表达式_6. 稳态误差与系统类型

这一篇我们主要讲讲稳态误差（steady-state error）和系统类型（system type）。这是经典控制中最为关心的系统性能指标之一。 经典控制在过去主要研究的是regulation的问题，稳态时的误差大小是十分重要的指标。

我们研究regulation的问题时reference input是一个常数。而plant受到的扰动在很多时候也是一个常数偏差。即便是在通常的tracking问题中，也会有很多时候reference input 会保持在一个接近常数的水平，或者能够被一个多项式（polynomial）所描述。

以电梯为例子，在没到达指定楼层之前，电梯会有一个ramp function作为输入，从而让电梯有恒定速度。当然也可以保持恒定的加速度。

如此说来，研究多项式描述的参考输入对系统的稳态误差是具有意义的。

定义系统类型（type），是系统最高可以追踪的信号的多项式的阶次。比如step function 是0阶多项式，ramp function是一个1阶多项式，acceleration function是一个2阶多项式。

Tracking问题的系统类型

对于一个单位反馈系统（unity feedback system），plant 的传递函数为

，控制器的传递函数为

，开环传递函数

，假设plant 的干扰和sensor的噪音为0，定义误差为输入端与输出端之间的差，其Laplace变换为E(s):

如果E(s)是稳定的，那么可以应用Final Value Theorem求得对多项式信号

稳态误差:

以step function为例，

，那么如果开环传递函数没有0处的极点，也就是积分器

，那么稳态误差为：

其中定义了

为position constant。

如果系统的开环传递函数中只有一个积分器

，那么我们可以改写上式为

其中

，也就是我们把

给分离出去，让

在

时为一个常数

，此时系统为Type 1，I型系统。

如果有多个积分器

,那么有

显然如果

，那么稳态误差就变为了0。

如果

那么稳态为一个常数，系统为Type k。

否则

系统就无法track该多项式信号，最终发散。

定义系统类型的意义在于，如果系统的参数发生改变，而又不会移除开环系统在0处的极点，系统依旧会track同类型的多项式信号而保持收敛。在单位反馈下，系统类型是一种相对于系统参数变化的鲁棒特性。 鲁棒性是采用单位反馈的主要原因（非单位反馈是否具有这种特性，请自行验证。）

Regulation问题的系统类型

对于regulator，我们要考察干扰对系统稳态误差产生的影响。

我们假设参考输入为0，那么输出误差应该就是为0。但是如果加入了干扰，那么此时的输出就定义为误差

，Laplace变换为

。

同样可以定义

显然如果

，那么稳态误差就变为了0。如果

，那么稳态为一个常数，系统为type k型。否则，系统响应发散。

总结

我们假定系统闭环系统是稳定的的，对不同多项式信号的稳态误差是可以由终值定理计算得到的。根据系统最多可以跟踪的多项式的degree，来定义其型号type。系统型号是一种系统鲁棒性的表现。

Reference

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] 胡寿松，自动控制原理（第六版），2013，科学出版社

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