自控原理学习笔记
自控原理学习笔记专栏

1.频率特性函数

对于稳定的线性时不变系统（LTI），

• 频率特性：

  • 系统稳态输出与输入信号的复数比
  • 系统输出信号与输入信号Fouier变换之比

• 对于稳定的LTI，若R（t）为正弦信号，则y（t）为同频率正弦信号。

• 物理意义：表征系统对不同频率正弦输入响应特性

• 频率特性函数实质：复变函数

  
  $$\begin{gathered} 幅频：A(w)=|G(iw)| \\ 相频：\phi (w)=argG(iw) \end{gathered}$$

1.1 图形表示方法：

Nyquist图----特点：
1）具有对称性； 2）已知开环频率特性L(iω)，可令w由小到大取值，算出幅值 | L(iω )| 和相位∠L (iω) 的相应值，在 L 平面描点绘图，可以得到开环幅相曲线。

Bode 图----特点：
1）可展宽幅频范围； 2）可简化作图过程； 3）便于图解应用； 4）难以应用于系统稳定性定理的证明

Nichols图---- 特点：
1）系统增益的改变，不影响相频特性，故增益改变时，对数幅相特性只是简单的向上平移或向下平移，而曲线形状保持不变； 2）G(iω)和1/G(iω)的对数幅相特性图相对原点中心对称，即幅值和相位均相差一个符号； 3）利用对数幅相特性图，很容易由开环频率特性求闭环频率特性，可方便地用于确定闭环系统的稳定性及解决系统的综合校正问题。

1.2 零极点位置和暂态增益图

1.2.1 复轨迹曲线

按广义频率特性，令s=iw，可得到开环系统的复轨迹曲线，可表示为：

• 极点矢量$p_i$：分母因式（iw-p_i）是s平面从极点指向虚轴上iw的矢量。

• 零点矢量$z_j$: 分子因式（iw-z_j）是s平面从零点指向虚轴上iw点的矢量。

  

  $$\begin{gathered} \left|L(iw)\right|=K_1\prod _{j=1}^m{N}_j/\prod _{i=1}^n{M}_i \\ \phi (w)=\sum _{j=1}^m{\theta }_j-\sum _{i=1}^i{\mu }_i \end{gathered}$$

• 幅频特性：零点矢量模的乘积除以极点矢量模的乘积，再乘上暂态增益$K_1$

1.2.3 例子

画出频率特性G(iω)=(iω+3)/[(iω+2)(iω+4)]在频率为1Hz时的极点矢量和零点矢量，并计算该频率下的幅频与相频。

1.3 计算系统响应

2.开环频率特性幅相曲线

2.1 典型环节幅相曲线-Nyquist图

2.2一般特性频率曲线

2.2.1 开环传递函数：

• 幅频：|L(iw)|
• 相频：

2.2.2 幅相曲线的绘制：

1. 开环幅相曲线的起点（w=$0^{+}$）和终点（w=$\infty$）
   $$\begin{gathered} L(i{0}^{+})=\{\begin{array}{c}K{e}^{i0},\nu =0\\ \infty e^{-i\nu \times 90},\nu >0\end{array} \\ L(i\infty )=0e^{-i(n-m)90} \\ 当没有右半平面的开环零极点时 \\ 取小正数ϵ\angle L(iϵ)=-\nu \times 90+\sum \arctan {\tau }_kϵ-\sum \arctan T_jϵ \\ \approx -\nu \times 90+(\sum {\tau }_k-\sum T_j)ϵ \end{gathered}$$

2. 开环幅相曲线与负实轴的交点，交点坐标为：
   $$ReL(iw)=L(iw)令虚部为0$$

3. 开环幅相曲线的变化范围（象限性，单调性）

2.2.3 特征点

• 相位穿越频率:首次使得相位为-180°。
  $$\angle L(i{w}_{pc})=-180°$$

• 增益穿越频率$w_c$：首次使得增益为1
  $$|L(i{w}_c)|=1$$

2.2.4 例子

3.开环对数频率特性

3.1Bode图概念

Bode图由对数幅频特性和相频特性构成。通常以分贝值作为纵坐标。
$$|L(iw){|}_{dB}=20{\lg }^{|L(iw)|}(dB)$$

3.2 典型环节Bode图

1. 比例环节

   频率特性为$|G(iw)|=k$

   对数幅频特性： $20\lg |G(iw)|=20{\lg }^k$

   相频特性： $\angle G(iw)=0°$

   

2. 微分环节

   $G(iw)=i{T}_{d}w$

   对数幅频特性：$20\lg |G(iw)|=20\lg T_{d}w$

   相频特性：$\angle G(iw)=90°$

3. 积分环节

   $G(iw)=\frac{1}{i{T}_{i}w}$

   对数幅频特性：$20lg|G(iw)|=-20\lg (T_{i}w)$

   相频特性：$\angle G(iw)=-90°$

   

4. 惯性环节

   $G(iw)=\frac{1}{iTw+1}$

   对数幅频特性：$20lg|G(iw)|=-10\lg [1+(wT{)}^2]$

   相频特性：$\angle G(iw)=-\arctan wT$

   

5. 一阶微分环节

   $G(iw)=1+iTw$

   对数幅频特性：$20lg|G(iw)|=10\lg [1+(wT{)}^2]$

   相频特性：$\angle G(iw)=\arctan wT$

   

6. 二阶振荡环节

   $G(iw)=\frac{1}{(iTw{)}^2+2\zeta iTw+1}=\frac{1}{1-(w/w_n{)}^2+i2\zeta w/w_n}$

   对数幅频特性： 20 l g ∣ G ( i w ) ∣ = − 10 lg ⁡ { [ 1 − ( w / w n ) 2 ] 2 + ( 2 ζ w / w n ) 2 } 20lg|G(iw)|=-10lg {[1-(w/w_n)^2]^2+(2zeta w/w_n)^2} 20lg∣G(iw)∣=−10lg{[1−(w/wn​)2]2+(2ζw/wn​)2}

   相频特性：
   $$\angle G(iw)=\{\begin{array}{c}-\arctan \frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},w<w_n\\ -180°-\arctan \frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},w>w_n\end{array}$$
   

7. 二阶微分环节

   $G(i\omega )=1-(\omega /{\omega }_n{)}^2+i2\zeta \omega /{\omega }_n$

   对数幅频特性： 20 l g ∣ G ( i w ) ∣ = 10 lg ⁡ { [ 1 − ( ω / ω n ) 2 ] 2 + ( 2 ζ w / w n ) 2 20lg|G(iw)|=10 lg {[1−(ω/ω_n)^2]^2+(2zeta w/w_n)^2 20lg∣G(iw)∣=10lg{[1−(ω/ωn​)2]2+(2ζw/wn​)2

   相频特性：$\angle G(iw)=\{\begin{array}{c}\arctan \frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},w<w_n\\ 180°+\arctan \frac{2\zeta w/w_n}{1-w^2/w_n^2},w>w_n\end{array}$​

8. 延迟环节

   $G(iw)=e^{-i\tau w}$

   对数幅频特性：$20lg|G(iw)|=0 $

   相频特性：$\angle G(iw)=-\tau w$

   

3.3 Bode图渐近线画法：

1. 将开环传递函数写成时间常数标准式，确定系统开环增益K，把各典型环节的转折频率依次标在频率轴。
   $$L(s)=\frac{K_1{\prod }_{j=1}^m(s-z_j)}{{\prod }_{i=1}^n(s-p_i)}$$

2. 由于系统低频段渐近线的频率特性为$K/(iw{)}^{\nu }$,因此，过$(\sqrt[\nu ]{K},0)或(1,20\lg K)$点绘制斜率为$-\nu \times 20dB/dec$的直线为低频段渐近线（$\nu 为积分环节数$）纯积分无转折频率

3. 沿频率增大方向没遇到一个转折频率改变一次斜率，遇到分子一阶环节，频率+20dB/dec，二阶+40dB/dec，同理分母为负。渐近线最后一段斜率为-20（n-m）dB/dec.

4. 绘制相频特性曲线，分别绘制各环节相频曲线，最后进行叠加

3.4最小相位系统：

最小相位系统：没有开环RHP¹零点和极点的系统。

非最小相位系统：含有开环RHP零点、极点，其相位滞后较大

3.5举例

最后

以上就是烂漫蜡烛为你收集整理的自控原理学习笔记-反馈控制系统的动态模型（4）-频率特性函数Nyquist图及Bode图1.频率特性函数2.开环频率特性幅相曲线3.开环对数频率特性的全部内容，希望文章能够帮你解决自控原理学习笔记-反馈控制系统的动态模型（4）-频率特性函数Nyquist图及Bode图1.频率特性函数2.开环频率特性幅相曲线3.开环对数频率特性所遇到的程序开发问题。

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