关于幅角原理的理解和Nyquist稳定性判据

关于幅角原理的理解和Nyquist稳定性判据

一、幅角原理

quad 我们知道，一个系统的稳定性，要看他的闭环传递函数的极点。设闭环传递函数是$M(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$,那么我们看的就是这个鬼鬼玩意$1+G(s)H(s)$的零点，设$F(s)=1+G(s)H(s)$,我们就去看F(S)的零点，其实在这里我们用幅角原理就是为了看零点的。
quad 先看一下幅角原理的叙述：幅角原理是关于解析函数在简单闭曲线内部的零点个数与极点个数之间的关系的定理。设Γ为一简单闭曲线,函数f(z)满足条件:1、f(z)在Γ的内部除有有限个极点外是解析的;2、f(z)沿Γ上解析且不为零; 则f(z)在简单闭曲线Γ内部的零点与极点个数之差,等于z沿Γ之正向绕行一周时,argf(z)的改变量△argf(z)除以2π,即,这里N(f,Γ)和P(f,Γ)分别表示f(z)在Γ内部的零点个数和极点个数。注:上式右端的量可写成积分(对数留数)。百度百科
quad 用正常人的话翻译一遍就是：我现在有一个函数F(s)，我想知道这个函数在某个区域B上有多少零点、多少极点，那我就把这个区域画线围起来，这个就是那个闭曲线，当然这个闭曲线不是随便乱画的，需要满足这样两个条件，F(s)在这个曲线的内部除有有限个极点外是解析的，就是存在邻域可导，F(s)沿Γ上解析且不为零。那么就可以得到以下的准则：自变量s顺时针绕Γ一圈，这个曲线映射的轨迹Γf会顺时针绕原点N圈，满足N=Z-P，其中Z是F(s)在B内的零点，P是F(s)在B内的极点。一定要注意，这里的说的是顺时针转动！！！

二、Nyquist稳定性判据

quad 那么，我们如何利用这个定理，首先我们知道，如果M(s)在右半平面上有极点的话，系统是不稳定的，即F(s)右半平面上有零点的话，系统是不稳定的。我们需要研究F(s)在右半平面的零点，需要画一条曲线，将右半平面包围，这条曲线就是：Nyquist路线，即奈式路线。
quad 明白奈式路线是如何画出来的以及要点请参考Nyquist稳定性判据通俗理解及应用。
quad 再看Nyquist稳定性判据：因为我们画的是G(S)H(S)的Nyquist图，F(s)绕原点，相当于在G(S)H(S)上的Nyquist图绕（-1,j0）很方便去看圈数N，当顺时针绕一圈N=N+1,逆时针一圈N=N-1，又因为P是很容易看出来的，所以我们最后算出来Z=N+P，如果Z=0，就证明系统是稳定的啦！！！
quad 注意：我们通常做G(S)H(S)的Nyquist图是$\omega$从$0_{+}$到$+\infty$的，在计算N的时候，需要实轴对称补出另一半，使得$\omega$从$-\infty$到$+\infty$然后再去数N，切记切记！！！

最后

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