浅谈 Nyquist–Shannon(奈奎斯特-香农)采样定理

Nyquist–Shannon(奈奎斯特-香农)采样定理是数字信号处理领域中的一个定理，它是连接连续时间信号和离散时间信号的基本桥梁。

定理内容 :如果一个系统以超过信号最高频率至少两倍的速率对模拟信号进行均匀采样，那么原始模拟信号就能从采样产生的离散值中完全恢复。

为了防止由于混叠引起的信号被破坏，需要以奈奎斯特速率或更高的速率进行采样。如果不遵守这个基本要求，就无法消除混叠(混叠永久与原始频谱混合，两者无法区分)。

下面是解释采样定理的时域/空域采样具体流程:

给定一个信号:

时域采样:原始时域函数波形乘以一系列增量函数，间隔为$T_s(1/f_s)$。
结果使得采样信号在与增量函数重合处保留原始信号的值，其余处值为$0$；

频域采样：时域相乘=频域卷积

增量函数的傅立叶变换是一个增量函数序列。而不同之处则在于，增量函数是被与采样频率相对应的水平距离分隔的，而不是采样周期(时域频域周期发生了变化)。如下图:

卷积操作的意义?复制+移位

这样，如果满足采样定理的话，因为卷积后的数据中仍存有原始频谱且没有被重叠污染，所以我们可以选取合适的低通滤波来消除其他子频谱。

混叠 当采用低于奈奎斯特速率的采样频率时，子频谱会发生重叠，若强行使用低通滤波器分离原始频谱，那么重叠波段的频率含量会发生变换，转化到时域里就还原不出原信号值。混叠在频率域如下图所示：

滤波重建过程:

以满足采样定理的频率进行采样，理论上无混叠，现实中是仍然存在混叠的。

我们可以选取合适的低通滤波器来恢复原始信号

最后

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