频域分析及奈氏判据

1. 频域分析

幅频特性：幅值之比

相频特性：相角之差

2. 幅相频率特性（Nyquist图）

From: 自动控制原理（西北工业大学 卢京潮）-P33

3. 对数频率特性（Bode图）

4. 频域稳定判据

From: 自动控制原理（西北工业大学 卢京潮）-P40

From: 自动控制原理（西北工业大学 卢京潮）-P42

5. 奈氏判据例题

例题：试根据奈奎斯特判据，判断下表所示曲线对应闭环系统的稳定性，已知曲线（1）～（10）对应的开环传递函数如下：

答案如下：

From: 真开心！奈奎斯特稳定判据，我终于掌握了！

6. 再来奈氏判据

系统稳定的充要条件是系统闭环特征根都具有复实部，即都在 $s$ 复平面的左边平面 (LHP)。

在时域分析中判断系统的稳定性，一种方法是求出特征方程的全部根，另一种方法是使用劳斯-胡尔维茨稳定判据（代数判据）。然而，这两种方法都有不足之处，对于高阶系统，非常困难且费时，也不便于研究系统参数、结构对稳定性的影响。

特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性，还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取，同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。

除了劳斯判据外，分析系统稳定性的另一个常用判据为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。

奈氏判据的主要特点有：

1. 根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；
2. 能够确定系统的稳定程度（想对稳定性）；
3. 可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析于设计；
4. 基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。

Nyquist判据的主要理论依据是复变函数理论中的Cauch（柯西）幅角定理。

0型系统

系统的开环右极点数为 $P$，在 $G(s)H(s)$ 平面上，当 $\omega$ 从 $-\infty$ 变化到 $+\infty$ 时，系统开环频率特性曲线 $G(j\omega )H(j\omega )$ 及其镜像，顺时针包围 $(-1,j0)$ 点的次数为 $N$ 圈 $(N>0)$，若逆时针包围则 $N<0$，封闭曲线绕 $(-1,j0$ 点旋转 $360^{\circ }$ 即包围一次，则系统的闭环右极点的个数为 $Z$，且满足：$$Z=N+P$$

当 $Z=0$ 时，系统闭环稳定；
当 $Z>0$ 时，系统闭环不稳定。

注：系统开环稳定，闭环不一定稳定；开环不稳定，闭环不一定不稳定。

I 型系统或 II 型系统

I 型系统：从正虚轴方向无限远处开始，顺时针绕向负虚轴，以原点为圆心，半径为无限大的右半圆弧。需在 $G(s)H(s)$ 平面上补画右半圆弧将奈氏曲线及其镜像连成封闭曲线。

II 型系统：从负实轴方向无限远处开始，顺时针绕一周终止于负实轴方向，以原点为圆心，半径为无限大的圆弧。需在 $G(s)H(s)$ 平面上补画整圆将奈氏曲线及其镜像连成封闭曲线。

当系统的开环奈氏图作如上处理后，稳定判据与 0 型系统完全相同。

若系统为最小相位系统，即开环系统稳定时 $(P=0)$，系统稳定的充要条件为：当 $\omega$ 从 $-\infty$ 变化到 $+\infty$ 时，在 $GH$ 平面上的系统开环频率特性曲线及其镜像，不包围 $(-1,j0)$ 点，即 $N=0$，则 $Z=N+P=0$，闭环系统稳定；否则不稳定。

当系统开环频率特性曲线及其镜像通过 $(-1,j0)$ 点时，表明在 $s$ 平面虚轴上有闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。

简化奈奎斯特稳定判据

1. $\omega$ 由 $0$ 变化到 $+\infty$ 时的开环幅相频率特性 $G_K(j\omega )$

因为 $(0,+\infty )$ 与 $(0,-\infty )$ 的曲线完全关于实轴对称，则 $0$ 变到 $+\infty$ 时的开环幅相频率特性 $G_K(j\omega )$ 顺时针包围 $(-1,j0)$ 点的圈数 $N^{\prime }$ 满足：$$N^{\prime }=N/2$$

已知系统开环右极点个数为 $P$，则系统闭环右极点个数为 $Z$（不包括虚轴上的极点）：$$Z=P+2N^{\prime }$$

2. 采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算

$\omega$ 由 $0$ 变化到 $+\infty$ 时开环频率特性曲线要形成对 $(-1,j0)$ 点的一次包围，势必穿越 $(-\infty ,-1)$ 区间一次。

开环频率特性曲线逆时针穿越 $(-\infty ,-1)$ 区间时，随 $\omega$ 增加，频率特性的相角值增大，称为一次 正穿越 $N_{+}^{\prime }$。反之，
开环频率特性曲线顺时针穿越 $(-\infty ,-1)$ 区间时，随 $\omega$ 增加，频率特性的相角值减小，称为一次 负穿越 $N_{-}^{\prime }$。

频率特性曲线包围 $(-1,j0)$ 点的情况，就可以利用频率特性曲线在负实轴 $(-\infty ,-1)$ 区间的正、负穿越来表达。

$\omega$ 由 $0$ 变到 $+\infty$ 时的开环幅相频率特性 $G_K(j\omega )$ 对 $(-1,j0)$ 点的总包围次数为 $$N^{\prime }=(N_{-}^{\prime }-N_{+}^{\prime })$$

利用正负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为：$$Z=P+2(N_{-}^{\prime }-N_{+}^{\prime })$$

注：奈氏曲线在 $(-1,j0)$ 点以右负实轴上相位有变化不算穿越。

3.半次穿越

奈氏曲线始于或止于 $(-1,j0)$ 点以左负实轴，称为一个半次穿越。

例题：某系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。$$G(s)H(s)=\frac{-3}{s+1}$$

答：由于曲线始于 $(-3,j0)$ 点，故顺时针包围 $(-1,j0)$ 点的次数为 1/2，$N_{-}^{\prime }=\frac{1}{2}$。由于开环右极点数为 $P=0$，故 $$Z=P+2(N_{-}^{\prime }-N_{+}^{\prime })=0+2(\frac{1}{2}-0)=1$$

闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。

例题：经实验测得某最小相位系统的开环奈氏图如下所示，判断闭环稳定性。

答：由于题意已告知时最小相位系统，而最小相位系统是稳定的，故可知 $P=0$，且型别为 $0$，故直接利用开环频率特性 $G_K(j\omega )$ 的轨迹曲线判断系统稳定性。由图可知，奈氏曲线由 $\omega =0$ 到 $\omega =+\infty$ 先顺时针穿越区间 $(-\infty ,-1)$ 一次，故 $N_{-}^{\prime }=1$，后逆时针穿越一次，故 $B_{+}^{\prime }=1$。因此，利用公式有 $$Z=P+2(N_{-}^{\prime }-N_{+}^{\prime })=0+2(1-1)=0$$

故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。

4. 型别 $\nu \ge 1$ 系统开环频率特性 $G_K(j\omega )$ 曲线的处理

在 $\omega =0$ 附近，幅相特性以 $\infty$ 为半径，逆时针补画 $\theta =\nu \cdot 90^{\circ }$ 的圆弧，添加圆弧后相当于得到新的开环频率特性 $G_K(j\omega )$ 的曲线。

此圆弧与实轴或虚轴的交点相当于新的起点，对应 $\omega =0$，原有曲线的起点对应于 $\omega =0^{+}$。注意所指曲线仍为 $\omega$ 由 $0$ 变到 $+\infty$ 时的开环幅相频率特性 $G_K(j\omega )$。

当系统的开环奈氏曲线作以上处理后，带入简化奈氏稳定判据即可，且系统在虚轴上的 $0$ 值开环极点作左极点处理。 $$Z=P+2(N_{-}^{\prime }-N_{+}^{\prime })$$

From: 自控19奈氏判据

最后

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