稳定判据_自动控制系统时域分析十五：奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径和方法。

一：开环与闭环关系

设负反馈系统的开环传递函数为：

                              ，

其中：G(s)为前向通道传递函数，H(s)为反馈通道传递函数。

闭环传递函数为：

如下图所示：

令：

则开环传递函数为：

闭环传递函数为：

将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：

显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：

由此可以总结出：

1. F(s)的极点为开环传递函数的极点；

2. F(s)的零点为闭环传递函数的极点；

奈奎斯特稳定性判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径和方法。

二：柯西幅角定理

s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线   包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Γs移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γf将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。

1. 若N为正，表示Γf顺时针运动，包围原点；

2. 若N为零，表示Γf顺时针运动，不包围原点；

3. 若N为负，表示Γf逆时针运动，包围原点。

三：奈奎斯特稳定性判据

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程：

其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。我们的目的是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此这里对奈奎斯特稳定性判据进行简单的推导，推导的基础就是基于柯西幅角定理。这里需要解决两个问题：

1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的。

2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性G(jw)H(jw)相联系。

第一个问题：

假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线Γs包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：

它可分为三部分：

第一部分是正虚轴，w=0→+∞；

第二部分是右半部分半径为无穷大的半圆；

第三部分是负虚轴，w=-∞→0；

F(s)平面上的映射是这样得到的：

以s=jw代入F(s)并令w从0→+∞变化，得第一部分的映射；在F(s)中取  

              

使角度由

得第二部分的映射；令从w从-∞→0变化，得第三部分的映射。得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算：

式中：Zk和Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出

当ZR=0时，系统稳定；否则不稳定。

第二个问题：

辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为：

①由Gk(jw)可求得F(jw)，而Gk(jw)是开环频率特性。一般在Gk(jw)中，分母阶数比分子阶数高，所以当s→∞时，Gk(s) →0，即F(s)=1。(对应于映射曲线第二部分)

奈魁斯特路径的第一部分的映射是Gk(s)曲线向右移1；第二部分的映射对应Gk(s) =0，即F(s)=1；第三部分的映射是第一部分映射的关于实轴的对称。

②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。

③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是Gk(s)在右半平面的极点数。

奈奎斯特稳定性判据：

系统的开环传递函数在右半平面上有Pk个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，(N>0顺时针，N<0逆时针)，则闭环系统在右半平面的极点数为：                

若Zk=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。下一节将介绍奈奎斯特判据在I，II型系统中的应用。