奈奎斯特稳定性判据的推导

本文在上篇博文复变函数在自动控制原理中的应用之Cauchy原理的基础上，使用Cauchy原理来推导奈奎斯特稳定性判据。

上篇博文中选取复变函数$F(s)$为系统的特征方程，假设开环传递函数是有理真分式：

$$G(s)H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$$
则：
$$F(s)=1+G(s)H(s)=1+\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{A(s)+B(s)}{A(s)}$$
我们很容易得到，$F(s)$的零点即为闭环系统的极点；$F(s)$的极点即为开环传递函数的极点；

由Cauchy原理得出结论：在$s$平面上的封闭曲线$\Gamma$域内共有$P$个极点和$Z$个零点，且封闭曲线$\Gamma$不穿过$F(s)$的任何一个零极点。当$s$沿$\Gamma$顺时针移动一周时，函数$F(s)$在$F(s)$平面上的轨迹将包围原点$R=P-Z$周(其中，零极点个数需考虑重根，R<0顺时针，R>0逆时针)。

重要结论：

若选封闭曲线$\Gamma$包围整个s域右半平面，则：
系统的开环传递函数正实部极点P已知，只需求出函数$F(s)$在$F(s)$平面上的轨迹包围原点的圈数R(即$G(s)H(s)$包围$-1+j0$点的圈数)；便可得到$F(s)$的零点即系统闭环极点在右半平面的个数！！！

$s$平面的闭合曲线$\Gamma$的选取

首先来选择$s$平面的闭合曲线$\Gamma$,为了能够知道系统的闭环稳定性，我们需要知道闭环极点在$s$平面右半平面的个数，根据上篇博文的推导，这等价于求$F(s)$函数的零点在右半平面的个数，若零点个数为零则系统稳定。为此，要求闭合曲线$\Gamma$能把整个右半平面包围起来，那么$\Gamma$可以由两部分组成，如下图所示：

分别是：
1.半径无穷大的半圆$s=\infty e^{j\theta },\theta \in \left[90^{\circ },+90^{\circ }\right]$
2.虚轴$s=j\omega ,\omega \in [-\infty ,+\infty ]$，
当原点处有开环极点时，需避开该极点，即可以在原点附近取一半径无穷小的圆弧：

$$s=\epsilon e^{i\theta }$$

其中$\epsilon$为正无穷小，$\theta \in \left[-90^{\circ },90^{\circ }\right]$，如上图所示。

$G(s)H(s)$闭合曲线的绘制

$s$平面的闭合曲线$\Gamma$关于实轴对称，则$G(s)H(s)$曲线${\Gamma }_{GH}$也关于实轴对称，所以只需绘制${\Gamma }_{GH}$在$\mathrm{lm}s⩾0$对应的部分，即可得到$G(s)H(s)$的半闭合曲线，仍记为${\Gamma }_{GH}$。接下来分析映射的${\Gamma }_{GH}$，上半虚轴$s=j\omega ,\omega \in [0,+\infty ]$对应$G(s)H(s)=G(j\omega )H(j\omega )$，即为奈奎斯特曲线。半径无穷大的1/4圆弧$s=\infty e^{j\theta },\theta \in \left[0^{\circ },+90^{\circ }\right]$映射成：

$G(s)H(s)=\{\begin{array}{cc}0& n>m\\ K^{\ast }& n=m\end{array}$

式中$m,n$为零极点个数。可见半径无穷大的1/4圆弧在$F(s)$平面的映射为一个点，且该点与虚轴在无穷远处的点映射的点相同，故不需要重复考虑(在$s$到$F(s)$的映射过程中，$s$域的半径无穷大的圆映射成了点，而虚轴无穷远处的点在该圆弧上)。

特殊的，当原点处有极点时，需要分析半径无穷小的圆弧映射。此时，将系统的开环传递函数写成：

$$G(s)H(s)=\frac{1}{s^v}{G}_1(s)$$

式中：

$${\frac{1}{s^{\nu }}|}_{s=\epsilon e^{j\theta }}=\frac{1}{{\epsilon }^{\nu }}{e}^{-i\nu \theta }$$

当$\epsilon$为正无穷小时，趋近于$\infty e^{-j\nu \theta }$，注意：此处的$\theta$范围为$\left[0^{\circ },+90^{\circ }\right]$对应原点处的1/4圆弧，$\infty e^{-j\nu \theta }$则表示为半径无穷大的$\nu /4$圆弧。

由于$$G_1(s)=K\frac{{\prod }_{i=1}^m\left({\tau }_{j}s+1\right)}{{\prod }_{i=1}^n\left(T_{i}s+1\right)}$$

当$s=\epsilon e^{j\theta }$时，写成极坐标形式$|K|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\angle {\mathrm{G}}_1(0)}$。

则有

$$G(s)H{(s)|}_{s=\epsilon e^{j\theta }}\approx \infty e^{j\left[v\times (-\theta )+\angle G_1(j0)\right]}$$

可知，对应的曲线为角度从$\angle G_1(j0)$起，圆心角为$v\times (-\theta )$的圆弧。即可从$G\left(j{0}_{+}\right)H\left(j{0}_{+}\right)$点起，逆时针做半径无穷大、圆心角为$v\times 90^{\circ }$的圆弧补线（补到正实轴）。
(逆时针做补线的原因：$w=0_{+}$时刻，内奎斯特曲线的相角为 $\left[v\times (-\theta )+\angle G_1(j0)\right]$，$w=0_{-}$时刻，相角为 $\left[\angle G_1(j0)\right]$，逆时针方向为相角增加方向，故逆时针加补线)

综上可知，当开环传递函数在原点处有极点时，其奈奎斯特曲线应该分成两段：

$$s=j\omega ,\omega \in [0,+\infty ]$$

对应：$$G(s)H(s)=G(j\omega )H(j\omega )$$

无穷小半径小圆弧：
$$s=\epsilon e^{j\theta }$$
对应半径无穷大、圆心角$\nu \times 90^{\circ }$的圆弧，因此其奈奎斯特曲线需从$G\left(j{0}_{+}\right)H\left(j{0}_{+}\right)$点起，逆时针做半径无穷大、圆心角为

$\nu \times 90^{\circ }$的圆弧补线(补到实轴！！！)。

如下如所示：

闭合曲线${\Gamma }_F$包围$F(s)$平面原点的圈数等于曲线${\Gamma }_{G}H$包围$-1+j0$点的圈数，但是由于绘制的${\Gamma }_{G}H$曲线是半包围曲线，求其包围$-1+j0$点的圈数不方便，因此引入”穿越”概念，指${\Gamma }_{GH}$曲线穿过$-1+j0$左侧负实轴，其中随着$w$增大，曲线以相角增大的方式(逆时针)穿过叫正穿越$N_{+}$，以相角减小的方式(顺时针)穿过的叫负穿越$N_{-}$, ${\Gamma }_{GH}$起始或终止于$-1+j0$左侧负实轴的穿越称为半次穿越；由于${\Gamma }_F$包围原点的圈数$R$是奈奎斯特曲线${\Gamma }_{GH}$包围$-1+j0$圈数的两倍；

那么：（因为奈奎斯特曲线的起点总在实轴上，终点总在原点处，故一次正穿越即对应逆时针包围$-1+j0$一次，同理一次负穿越即对应顺时针包围$-1+j0$一次）

$$R=2N=2\left(N_{+}-N_{-}\right)$$

这便引出奈奎斯特稳定性判据：

闭环系统稳定的充分必要条件是，奈奎斯特曲线不穿过$-1+j0$点(若穿越且$Z=P-2N=0$为临界稳定),且逆时针包围$-1+j0$点的圈数$R$为开环传递函数的正实部极点数$P$;

进一步的，闭合曲线${\Gamma }_{GH}$包围函数$F(s)=1+G(s)H(s)$的零点数即闭环控制系统的正实部极点数为：

$$Z=P-2N$$

可以看出，奈奎斯特稳定性判据是将时域里的稳定性判据(闭环极点均具有负实部)，借助复变函数中的Cauchy原理，转换到了频域，两者本质上是等价的。

最后

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