传递函数的其他表达形式

1 SISO线性定常系统表达式:

$$a_0{d^m over dt^m}x_c(t)+a_1{d^{m-1} over dt^{m-1}}x_c(t)+...+a_{m-1}{d over dt}x_c(t)+a_mx_c(t) \ =b_0{d^n over dt^n}x_r(t)+b_1{d^{n-1} over dt^{n-1}}x_r(t)+...+b_{n-1}{d over dt}x_r(t)+b_nx_r(t)$$
写成这样好看一点:
$$a_0 x_c^{(m)}+a_1x_c^{(m-1)}+...+a_{m-1}dot x_c+a_mx_c =b_0x_r^{(n)}+b_1x_r^{(n-1)}+...+b_{n-1}dot x_r+b_nx_r$$

注: $x_c^{(m)}$表示$m$阶关于时间的微分.

两边同取拉氏变换可得:

$$(a_0s^m+a_1s^{m-1}...+a_{m-1}s+a_m)X_c =(b_0s^n+b_1s^{n-1}...+b_{n-1}s+b_n)X_r$$
即SISO线性定常系统的传递函数为:

$$X_c(s)= X_r(s)G(s)$$
即:
$$G(s)= {X_c(s) over X_r(s)}={b_0s^n+b_1s^{n-1}...+b_{n-1}s+b_n over a_0s^m+a_1s^{m-1}...+a_{m-1}s+a_m }$$

2 写成时间常数表达方式:

分子提出$b_m$, 分母提出$a_n$(提出常数项)得:

$$G(s)= {b_m({b_0over b_m}s^n+{b_1over b_m}s^{m-1}...+{b_{m-1}over b_m}s+1) over a_n({a_0over a_n}s^n+{a_1over a_n}s^{n-1}...+{a_{n-1}over a_n}s+1 )} = K{prod_{i=1}^m (T_i+1) over prod_{j=1}^n(T_j+1)}$$

• 时间常数: 时域分析法中使用, 典型环节.
  $$K = {b_m over a_n}$$
• 物理意义: $T_i$, $T_j$时间常数

3 写成零极点增益形式

分子提出$b_0$, 分母提出$a_0$(提出最高次项系数)得:

$$G(s)= {b_0(s^n+{b_1over b_0}s^{m-1}...+{b_{m-1}over b_0}s+{b_mover b_0}) over a_0(s^n+{a_1over a_0}s^{n-1}...+{a_{n-1}over a_0}s+{a_n over a_0} )} = K^*{prod_{i=1}^m (s+z_i) over prod_{j=1}^n(s+p_j)}$$

• 根轨迹放大系数: 根轨迹法中使用
  $$K^* = {b_0 over a_0}$$
• $-z_i$ 为分子多项式的根,称为系统零点.
• $-p_j$ 为分母多项式的根, 称为系统极点.

4 系统特征多项式

传递函数的分母, 成为系统的特征多项式.

$$D(s)=a_0s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n$$

• $s$的最高阶$n$,为系统的阶次.
• $D(s)=0$ 称为系统的特征方程, 特征方程的根为系统的特征根或极点.

最后

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