熵

熵是表示随机变量不确定性的度量，X 是一个取有限值的离散随机变量，其概率分布为：

则随机变量X的熵定义为

举例：

假设有随机变量X，用来表达明天天气的情况。X可能出现三种状态 1) 晴天2) 雨天 3)阴天 每种状态的出现概率均为P(i) = 1/3，那么根据上述公式：

H(X) = - 1/3 * log(1/3) - 1/3 * log(1/3) + 1/3 * log(1/3) = log3 =0.47712

如果这三种状态出现的概率为(0.1, 0.1, 0.8), 那么

H(X) = -0.1 * log(0.1) *2 - 0.8 * log(0.8) = 0.277528

可以发现前面一种分布X的不确定程度很高，每种状态都很有可能。后面一种分布，X的不确定程度较低，第三种状态有很大概率会出现。 所以对应前面一种分布，熵值很高，后面一种分布，熵值较低。

条件熵

当随机变量为多维随机变量时，其联合概率分布为：

条件熵H(Y|X)，表示已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望：

举例：

假设随机变量X表示明天的天气情况，随机变量Y表示今天的湿度，Y 有两种状态 1) 潮湿 2) 干燥。

假设基于以往的18个样本， X 的三种状态，概率均为 0.33， Y的两种状态，概率为0.5

条件概率可以通过朴素贝叶斯公式进行计算:

P(X=0|Y=0) =P(X=0,Y=0)/P(Y=0) = (1/18)/(9/18) = 1/9

P(X=1|Y=0)= P(X=1,Y=0)/P(Y=0) = (5/18)/(9/18) = 5/9

P(X=2|Y=0) =P(X=2,Y=0)/P(Y=0) = (3/18)/(9/18) = 3/9

P(X=0|Y=1) =P(X=0,Y=0)/P(Y=1) = (1/18)/(9/18) = 1/9

P(X=1|Y=1)= P(X=1,Y=0)/P(Y=1) = (5/18)/(9/18) = 5/9

P(X=2|Y=1) =P(X=2,Y=0)/P(Y=1) = (3/18)/(9/18) = 3/9

根据公式：

H(X|Y) = (1/18)*log(1/9) + (5/18)*log(5/9) + (3/18)*log(3/9) + (1/18)*log(1/9) + (5/18)*log(5/9) + (3/18)*log(3/9) = 0.406885

互信息(信息增益)

信息增益 定义

信息增益表示：特征X的信息使得Y的信息的不确定性减少的程度，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定的条件下D的经验熵H(D|A)之差：

所以Y条件产生的信息增益为 0.47712 - 0.406885

信息增益的 应用

我们在利用进行分类的时候，常常选用信息增益更大的特征，信息增益大的特征对分类来说更加重要。决策树就是通过信息增益来构造的，信息增益大的特征往往被构造成底层的节点
熵与条件熵只差称为互信息。

H(D)的计算公式

H(D|A)的计算公式

参考原文链接

互信息 概念

互信息，Mutual Information，缩写为MI，表示两个变量X与Y是否有关系，以及关系的强弱。
I(X,Y)=∫X∫YP(X,Y)logP(X,Y)P(X)P(Y)I(X,Y)=∫X∫YP(X,Y)log⁡P(X,Y)P(X)P(Y)
可以看出，如果X与Y独立，则P(X,Y)=P(X)P(Y)，I(X,Y)就为0，即代表X与Y不相关
I(X,Y)=H(Y)−H(Y|X)I(X,Y)=H(Y)−H(Y|X)
理解：确定随机变量X的值后，另一个随机变量Y不确定性的削弱程度，因而互信息取值最小为0，意味着给定一个随机变量对确定一另一个随机变量没有关系，最大取值为随机变量的熵，意味着给定一个随机变量，能完全消除另一个随机变量的不确定性。这个概念和条件熵相对。

可以看出，I(X,Y)可以解释为由X引入而使Y的不确定度减小的量，这个减小的量为H(Y|X)

所以，如果X,Y关系越密切，I(X,Y)就越大

I(X,Y)最大的取值是H(Y)H(Y)，此时H(Y|X)为0，意义为X和Y完全相关，在X确定的情况下Y是个定值，没有出现其他不确定情况的概率，所以为H(Y|X)为0

I(X,Y)取0时，代表X与Y独立，此时H(Y)=H(Y|X)，意义为X的出现不影响Y。

性质

I(X;Y)I(X;Y)的性质：
1）I(X;Y)⩾0 ，I(X;Y)⩾0
2）H(X)−H(X|Y)=I(X;Y)=I(Y;X)=H(Y)−H(Y|X)H(X)−H(X|Y)=I(X;Y)=I(Y;X)=H(Y)−H(Y|X)
3）当X,Y独立时，I(X;Y)=0，I(X;Y)=0
4）当X,Y知道一个就能推断另一个时，I(X;Y)=H(X)=H(Y)

交叉熵

定义

信息论中的重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。

理解： 在进行优化的过程中，往往将交叉熵又命名为loss变量，优化的目标即是最小化loss。

假如X为一组已知的输入特征值，Y为一组已知的输出分类。优化的目标是为了找到一个映射模型F, 使得预测值Y_ = F(X)， 与真值Y最相似。但现实世界的Y和Y_的分布肯定不是完全一致的。

所以：

Y 服从 p分布（即真实分布），Y_ 服从 q分布

交叉熵 cross_entropy 即为描述p,q两个分布差异性的指标：

最后

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