通过示例总结条件熵、交叉熵、相对熵、互信息 通过示例总结条件熵、交叉熵、相对熵、互信息

条件熵：

H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定性，H(Y|X)定义为：

 

举个例子：   有一堆西瓜，已知这堆西瓜的色泽，以及每种色泽对应好瓜和坏瓜的个数，如下所示，设X表示色泽，Y表示好瓜或者坏瓜。

 

则：

这个例子就是计算条件熵的一个过程，现在证明条件熵公式：

有很多书上的条件熵是这么定义的，如果继续化简就可以得到我们上面定义的条件熵，接着化简：

得证！

信息增益：

 ，表示X出现后随机变量Y的不确定性减少了多少。

 比如上述西瓜的例中，当不知道色泽的时候，好瓜与坏瓜的不确定度为：

 

  当知道色泽之后，好瓜与坏瓜的不确定度为：

 

  那么知道色泽之后，好瓜与坏瓜的不确定度减少了：

 

 

交叉熵（只谈论离散情况）

  假设有这样一个样本集，p为它的真实分布，q为它的估计分布。如果按照真实分布p来度量识别一个样本所需要的编码长度的期望为：（如果对编码长度不了解的，请看：http://blog.csdn.net/hearthougan/article/details/77774948

  如果使用估计的分布q来表示来自真实分布p的平均编码长度，则：

 

  因为我们编码的样本来自于真实的分布p，所以乘的是真实概率。在图像分类的时候，比如softmax分类器，在训练的时候，我们已经给定图像的标签，所以这个时候每幅图片的真实概率就是1，这个时候的损失函数就是：

 

  怎么理解呢？就是让预测的概率值越来越接近于1！（想多了解softmax，请参考http://blog.csdn.net/hearthougan/article/details/71629657）

举个知乎上的例子，有4个字母(A,B,C,D)的数据集中，真实分布p=(1/2, 1/2, 0, 0)，即A和B出现的概率均为1/2，C和D出现的概率都为0，

 

  真实分布的编码长度（最优编码长度）

 

  也就是说，我们仅仅需要一位编码就可以确定所要发送的数据是什么。那么假如我们的估计分布如下：

 

  那么发送数据的平均编码长度为：

 

  即为了确定所发送的数据，平均需要长度2编码，才可以。交叉熵可以这么理解:用估计的分布对来自真实分布的样本进行编码，所需要的平均长度。

  根据Gibbs' inequality可知交叉熵要大于等于真实分布的信息熵（最优编码）。Gibbs' inequality如下：

对于样本服从分布,对于其他任何概率分布，都有：

 

当且仅当时，等号成立。

 

相对熵（KL散度）

  由交叉熵可知，用估计的概率分布所需的编码长度，比真实分布的编码长，但是长多少呢？这个就需要另一个度量，相对熵，也称KL散度。

 

  相对熵：用交叉熵减去真实分布的信息熵，表示用估计分布计算的平均编码长度比最短平均编码长度长多少。因此有：

  交叉熵=信息熵+相对熵

  由于对数函数时凸函数，则有：

 

 因此，相对熵始终是大于等于0的。从上面的描述中也可以看得出，相对熵其实可以理解成两种分布的距离。

互信息：

  两个随机变量X,Y的互信息，定义为：X,Y的联合分布P(X,Y)与乘积分布P(X)P(Y)的相对熵：

 

  怎么理解呢？也就是用乘积分布P(X)P(Y)的交叉熵，减去联合分布的信息熵，就是互信息，还不好理解，就可以看如下图示：

 

  相当于一种不严谨的说法就是：

  或许另一种等价的定义好理解：

  其实两种定义是等价的：

 

 

Reference:

https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E7%86%B5/4233536?fr=aladdin

https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E4%BF%A1%E6%81%AF/7423853?fr=aladdin

https://www.zhihu.com/question/41252833

--------------------- 作者：hearthougan 来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/77879784 版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！