面试官：听说你还不知道条件熵是什么?

大家好，我是Xueliang。

想起来去年我参加秋招的时候有一位面试官问我决策树相关的问题。决策树中有一个概念叫做信息增益，其计算公式如下：
$$Gain(Y,X)=H(Y)-H(Y|X)$$
面试官问我，在一个具体的问题里，条件熵$H(Y|X)$是怎么计算的，以及它的含义是什么呢？

本文内容大约1k字，阅读耗时大约5分钟。

本篇文章主要分为两个部分：

• 信息熵
• 条件熵

信息熵

在决策树算法中，熵是一个非常非常重要的概念。

一件事发生的概率越小，我们说它所蕴含的信息量越大。

比如：我们听女人能怀孕不奇怪，如果某天听到哪个男人怀孕了，我们就会觉得emmm…信息量很大了。

所以我们这样衡量信息量：
$$i(y)=-\log P(y)$$
其中$P(y)$代表事件$y$发生的概率。

而信息熵就是所有可能发生的事件的信息量的期望：
$$H(Y)=-\sum _{i=1}^{N}P(y_i)\log P(y_i)$$
$H(Y)$ 表达了Y事件发生的不确定度。

条件熵

条件熵：表示在$X$给定条件下，$Y$的条件概率分布的熵对$X$的数学期望。其数学推导如下：
$$\begin{array}{rl}H(Y|X)& =\sum _{x\in X}P(x)H(Y|X=x)\\ & =-\sum _{x\in X}P(x)\sum _{y\in Y}P(y|x)\log P(y|x)\\ & =-\sum _{x\in X}\sum _{y\in Y}P(x,y)\log P(y|x)\end{array}$$
条件熵$H(Y|X)$表示在已知随机变量$X$的条件下随机变量$Y$的不确定性。注意一下，条件熵中$X$也是一个变量，意思是在一个变量$X$的条件下（变量$X$的每个值都会取到），另一个变量$Y$的熵对$X$的期望。

举个例子：

例：女生决定主不主动追一个男生的标准有两个：颜值和身高，如下表所示：

上表中随机变量$Y$=｛追，不追｝，P($Y$=追)=2/3，P($Y$=不追)=1/3，得到$Y$的熵：
$$\begin{array}{rl}H(Y)& =-\frac{2}{3}\log \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\log \frac{1}{3}\\ & =0.918\end{array}$$
这里还有一个特征变量$X$，$X$=｛高，不高｝。当$X$=高时，追的个数为1，占$1/2$，不追的个数为1，占$1/2$，此时：
$$H(Y|X=高)=-\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}=1$$
同理：
$$H(Y|X=不高)=-1\log 1-0\log 0=0$$
注意：我们一般约定，当$p=0$时，$p\log p=0$。

所以我们得到条件熵的计算公式：
$$\begin{array}{rl}H(Y|X=身高)& =P(X=不高)\ast H(Y|X=不高)+P(X=高)\ast H(Y|X=高)\\ =0.67& \end{array}$$
当我们用另一个变量$X$对原变量$Y$分类后，原变量$Y$的不确定性就会减小了(即熵值减小)。而熵就是不确定性，不确定程度减少了多少其实就是信息增益。 这就是信息增益$Gain(Y,X)$的由来。

在决策树算法中，最重要的就是划分属性的选择，即我们选择哪一个属性来进行划分。其中，在ID3算法中，我们所采用的度量标准就是我们前面所提到的“信息增益”。当属性$X_i$所带来的信息增益最大时，则意味着用$X_i$属性划分，其所获得的“纯度”提升最大。我们所要做的，就是在所有属性中找到信息增益最大的属性。

总结

在本文中，我们一起学习了在决策树算法中的一个重要概念：条件熵，希望对大家有所帮助。

参考资料：

[1] 《机器学习》 周志华。

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最后

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