逻辑代数基本概念

逻辑代数L由一个逻辑变量集K，常量0、1，以及相关运算与或非（.，+，-）组成，即$$L=K、+、-、.、0、1$$
该系统有下列公理：

• 交换律

• 结合律

• 分配律

• 0-1律

• 互补律
  公理是一个代数系统的基本出发点，无需证明。

逻辑变量与基本逻辑运算

逻辑变量

逻辑代数是与普通代数一样，使用字母表示其值可以变化的量，即变量。所不同的是：

1. 任何逻辑变量只有两种取值——0、1；
2. 逻辑值0、1的含义是事情发生以及真假情况，没有正负。

逻辑运算

逻辑代数中定义了“或”、“与”、“非”三种基本运算。

1. “或”运算

2. “与”运算

3. “非”运算

逻辑函数与逻辑函数间的相等

逻辑函数的定义

逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即随自变量的变化的因变量的取值。逻辑函数有以下特点：

• 逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有“0”与“1”两种情况。
• 函数与变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。

逻辑电路的输出值与逻辑变量的取值以及电路本身的构造有关系。

逻辑函数相等的问题

逻辑函数与普通函数一样，存在是否相等的问题，设有两个相同变量的逻辑函数：

F1=f1（A1,A2,A3,…,An）；
F2=f2（A1,A2,A3,…,An）；

对应于自变量的任意一组取值，都有F1=F2,则称函数F1与F2相等，记作F1=F2。

如何判断？

• 真值表法
• 代数法

逻辑函数的表示法

如何对逻辑功能进行描述？

逻辑表达式、真值表、卡诺图三种。

逻辑表达式

逻辑表达式就是由逻辑变量以及与、或、非运算组合而成的式子。

真值表

依次列出一个逻辑函数所有输入变量取值与输出值的表格叫做真值表。

真值表组成：
一、 变量取值组合；
二、输出值

卡诺图

由逻辑变量的所有取值组合的小方格所构成的平面图 。
这一部分将在后续结合函数化简问题进行介绍。

基本定理与规则

基本定理（8个）（理解即可，现推也可）

• 0-1与或规则
• 变量吸收规则：A+A=A;A.A=A
• A+AB=A;A.(A+B)=A
• A+A`B=A+B; A(A+B)’=A

重要规则(三条)

• 代入规则
  任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。

note： 使用代入规则时，必须将等式中所有出现的同一变量的地方以同一函数代替，否则带入后的等式将不成立。

• 反演规则

• ‘1’->‘0’;

• ‘0’->‘1’;

• ‘+’->’-’;

• ‘-’->’+’;

• ‘A’->‘A’’;

• ‘A’’->‘A’;

则有F->F’。

注意：使用反演规则时，运算时顺序不能改变。

• 对偶规则

将逻辑函数中的所有的“.”变成“+”,所有的“+”变成“.”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为F的对偶式，记作F’。

即反演的特殊情况，式子中的原变量不发生变化即可。

复合逻辑

包括：“与非”（通用门）、“或非”、“与或非”、“异或”门等门电路。

逻辑函数的表示形式与变换

逻辑函数的表达形式不是唯一的。逻辑函数表达式有基本形式、标准形式两类。

逻辑函数表达式的两种基本形式

指“与-或表达式”与“或-与表达式”

“与-或”表达式

由若干“与项”进行“或”运算得到的表达式。

“或-与”表达式

由若干“或”项进行“和”运算得到的表达式。

逻辑函数的表达式可以被表示成任意的混合形式，且表达不是唯一的。

逻辑函数表达式的标准形式

逻辑函数的标准形式是在最大项与最小项的基础上提出来的。

最大项与最小项

1） 最小项

1. 对于具有n个变量的函数，其与项包含全部的n个变量，每个变量以原变量或者反变量的方式出现一次，且仅出现一次，则该“与项”被称为最小项。
2. 最小项的数目：
   n个变量可以有2^n个最小项。
3. 简写：用mi表示最小项；
   下标i的取法：将最小项的变量取“1”，反变量取“0”后得到以串二进制代码，将其化为十进制数后即为下标i的数值。
4. 性质：

• 任意n个变量构成的一个最小项，仅有一种取值使得这个最小项的值为1，并且，最小项不同，取值为1的变量取值不同。
• 相同变量构成的两个不同最小项相与为0。
• 任意n个变量构成的n个最小项，进行或运算结果为1.
• n个变量构成的任一最小项有n个相邻的最小项。

2）最大项
（最大项取值为0的那一项是对应最小项取值为1的取反）
如果一个具有n个变量函数的“或项”包含全部的n个变量，每个变量都以原变量或者反变量的形式出现，且仅出现一次，则该或项被称为“最大项”。

数目：n个变量可以构成2^n个最大项。
简写： Mi；
下标的取值规律：将最大项中的原变量用0表示，反变量用1表示得到的二进制代码化为十进制数即为i的下标。

性质：

• 任一最大项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最大项的值为0；
• 相同变量构成的两个不同最大项相“或”为1；
• n个变量的全部最大项相“与”为0；
• n个变量构成的最大项有n个相邻的最大项。

逻辑函数表达式的标准形式

1. 标准“与-或”表达式

由若干最小项相“或”构成的逻辑表达式称为标准“与-或”表达式，也叫做最小项表达式。

2. 标准“或-与”表达式

由若干最大项相“与”构成的表达式称为标准“或-与”式。也叫最大项表达式。

逻辑函数表达式的转换

将任何一个逻辑函数表达式转换为标准表达式有两种方法。

代数转换法

利用逻辑代数的公理、定理与规则进行逻辑变换，将逻辑函数从一种形式化为另一种形式。

1. “与-或”式步骤：

• 将函数转换成一般的“与-或”表达式
• 反复利用x=x(y+y’)将表达式的所有非最小项的“与项”扩展成最小项（由一般与或项扩展成最小项）。

2. 标准的“或-与”步骤：

• 将原函数转换成一般“或-与”项表达式
• 将表达式中的非最大项扩张成最大项目。

真值表转换法

• “与-或”表达式
  列写函数的真值表，将函数取值为1的项相“或”即可。
• “或-与”表达式
  根据原函数列写真值表，将函数取值为“0”的项目相与即可。

逻辑函数的化简

将逻辑函数表达式从“与-或”式和“或-与”式出发，可以很方便的将其转化为其他任何要求的形式。

代数化简法

利用逻辑代数的公理，定理与规则将函数进行化简。

1. 最简“与-或”表达式应满足两个条件：

• 表达式中的“与”项个数最少；
• 每个“与”项中的变量个数最少。

几种常用的方法：

• 并项法
• 吸收法
• 消去法
• 配项法

卡诺图化法

重点掌握！！
应用广泛

卡诺图的构成

结构特点：
n个变量的卡诺图由n^2个小方格组成；
其中对应小方格的位置处填上"1"或"0"，是依据逻辑函数进行的。

卡诺图的性质

从图形上可以看出相邻最小项，将相邻最小项进行并项处理即可将逻辑函数化简。

卡诺图合并规则

1） 最简与-或式子合并原则：

将卡诺图的“1”项进行合并即可。

2）最简“或-与”式的合并原则：

将卡诺图的0项进行合并后取反即可。

卡诺图练习

找例题做做就可以了

最后

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