数字电子技术-逻辑代数基础一、逻辑代数的基本定律和规则二、逻辑表达式的形式三、逻辑表达式的代数化简法四、逻辑函数的卡诺图化简法

109 阅读 0 评论 72 点赞

我是靠谱客的博主传统白云，最近开发中收集的这篇文章主要介绍数字电子技术-逻辑代数基础一、逻辑代数的基本定律和规则二、逻辑表达式的形式三、逻辑表达式的代数化简法四、逻辑函数的卡诺图化简法，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

文章目录

一、逻辑代数的基本定律和规则
- 1-1 逻辑代数基本定律和恒等式
- 1-2 逻辑代数的基本规则
二、逻辑表达式的形式
- 2-1 逻辑函数表达式的基本形式
- 2-2 最小项与最小项表达式
- 2-3 最大项与最大项表达式
三、逻辑表达式的代数化简法
四、逻辑函数的卡诺图化简法

一、逻辑代数的基本定律和规则

1-1 逻辑代数基本定律和恒等式

0-1律
$▶$ $A + 0 = A$
$▶$ $A \cdot 1 = A$
$▶$ $A + 1 = 1$
$▶$ $A \cdot 0 = 0$
互补律
$▶$ $A + \overset{ˉ}{A} = 1$
$▶$ $A \cdot \overset{ˉ}{A} = 0$
等幂律
$▶$ $A + A = A$
$▶$ $A \cdot A = A$
双重否定律
$▶$ $\overline{\overline{A}} = A$
交换律
$▶$ $A \cdot B = B \cdot A$
$▶$ $A + B = B + A$
结合律
$▶$ $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
$▶$ $(A + B) + C = A + (B + C)$
分配律
$▶$ $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
$▶$ $A + B \cdot C = (A + B) \cdot (A + C)$
反演律（摩根定理）
$▶$ $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$
$▶$ $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$
还原律
$▶$ $A \cdot B + A \cdot \overline{B} = A$
$▶$ $(A + B) \cdot (A + \overline{B}) = A$
吸收律
$▶$ $A + A \cdot B = A$
$▶$ $A \cdot (A + B) = A$
冗余律
$▶$ $A B + \overline{A} C + B C = A B + \overline{A} C$

1-2 逻辑代数的基本规则

（1）代入规则

任何一个含有变量A的等式,如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。

（2）反演规则

对于任何一个逻辑表达式L,如果将表达式中的所有 $“ \cdot "$ 换成“+”,“＋”换成 $“ \cdot "$ ，“0”换成“1”’，“1”换成“0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数L的反函数(补函数）。

运算符
$▶$ $\cdot$ →+
$▶$ +→ $\cdot$
变量
$▶$ 原变量→反变量
$▶$ 反变量→原变量
常量
$▶$ 0→1
$▶$ 1→0
注：
①变换时要注意加括号来保持原式中的运算顺序。
②不是在单个变量上面的非号应保持不变。

（3）对偶规则

对于任何一个逻辑表达式L,如果将表达式中的所有 $“ \cdot ”$ 换成“＋”，“十”换成 $“ \cdot ”$ ，“0"换成“1”,“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式L’，L称为函数L的对偶函数。

运算符
$▶$ $\cdot$ →+
$▶$ +→ $\cdot$
常量
$▶$ 0→1
$▶$ 1→0
如果两个逻辑式相等，那么它们的对偶式也一定相等。

二、逻辑表达式的形式

2-1 逻辑函数表达式的基本形式

逻辑函数:如果对应于输入逻辑变量A、BC、…的每一组确定值,输出逻辑变量L有唯一确定的值，则称L是A、B、C、….的逻辑函数。记为 $L = f (A, B, C, . . .)$

与-或表达式 $L = \overline{A} B + A C$
或-与表达式 $L = (A + B) (\overline{A} + C)$
与非-与非表达式 $L = \overline{\overline{\overline{A} B} \cdot \overline{A C}}$
或非-或非表达式 $L = \overline{\overline{A + B} + \overline{\overline{A} + C}}$
与或非表达式 $L = \overline{\overline{A} \overline{B} + A \overline{C}}$

2-2 最小项与最小项表达式

最小项:在n变量的逻辑函数中,如果某个乘积项含有逻辑问题的全部n个变量,每个变量都以它的原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，这样的乘积项就称为n变量的最小项。

最小项的表示方法:通常用符号 $m_i$ 来表示最小项。
一般n个变量的最小项应有 $2^n$ 个
最小项的性质
$▶$ 任意一个最小项，有且仅有一组变量取值使其值为1。
$▶$ 任意两个不同的最小项的乘积必为0。
$▶$ 全部最小项的和必为1。

2-3 最大项与最大项表达式

最大项:在n变量的逻辑函数中,如果某个或项含有逻辑问题的全部n个变量，每个变量都以它的原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，这样的或项就称为n变量的最大项。

最大项的表示方法:通常用符号 $M_i$ 来表示最大项。
一般n个变量的最小项应有 $2^n$ 个
最大项的性质
$▶$ 任意一个最大项,有且仅有一组变量取值使其值为0。
$▶$ 任意两个不同的最大项的和必为1。
$▶$ 全部最大项的积必为0。

三、逻辑表达式的代数化简法

并项法
利用公式 $A 十 \overline{A} = 1$ ,将两项合并为一项,并消去一个变量。
吸收法
利用公式 $A 十 A B = A$ ,消去多余的项。
消去法
利用公式 $A ＋ \overline{A} B = A ＋ B$ ,消去多余的变量。
配项法
利用公式 $A 十 \overline{A} = 1$ ,将某一项展开为两项。

四、逻辑函数的卡诺图化简法

卡诺图是一种能直观表示最小项逻辑关系的方格图，是逻辑函数的图形表示。在逻辑变量不多的情况下(一般不超过六个），使用卡诺图化简法可以很方便的得到最简逻辑表达式。

卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。(相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量,其余因子均相同,又称为逻辑相邻项)。
逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并，在多变量卡诺图中要注意相邻的特性，卡诺图可以卷起来看，也可以折叠起来看，在寻找相邻性上要注意上、下、左、右尤其是边和角的邻格。
逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1,其余的方格内填入0。
用卡诺图化简逻辑函数,实质上就是利用相邻性反复运用公式 $A B + A \overline{B} = A$ 合并最小项,消去相异的变量,得到最简与或式。具体的化简方法就是画包围圈。
$2^n$ 个相邻项合并时，可消去n个相异变量。
画包围圈应遵循如下原则:
$▶$ 必须包含函数所有的最小项,即为1的小方格必须全部含在包围圈中。
$▶$ 卡诺图包围圈只能圈 $2^n$ 个方格,且圈越大越好。
$▶$ 不同的包围圈可以重复圈同一个区域,但每个圈中至少要包含一个尚未被圈过的1。
$▶$ 包围圈的圈数要尽可能的少。
卡诺图化简基本步骤:
$▶$ 根据逻辑函数建立卡诺图,注意要包括所有的逻辑变量。
$▶$ 按照画包围圈的原则,将相邻含1的小方格划入包围圈,对应每个包围圈合并成一个新的乘积项。
$▶$ 将所有包围圈对应的乘积项相加即可得到最简与或式。
具有无关项的逻辑函数化简
逻辑函数中各逻辑变量之间的制约关系通常用约束条件描述,约束条件所含的最小项称为无关项它表示输入变量某些取值组合不允许出现或者不影响逻辑函数的输出，也称为任意项，一般用d,表示，i仍为最小项序号，填入卡诺图时用“×”表示。
无关项可以视需要取值为1，或取值为0，而不会影响其函数值。